Problema in $\RR^2$ - Matrice hessiana su assi cartesiani
Sia data la funzione:
$f(x,y)=\{(\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2} if (x,y)!=(0,0)),(0 if (x,y)=(0,0)):}$
e sia $A={(x,y)in\RR^2 : 4<=x^2+y^2<=16, x<=y}$. Determinare massimi e minimi della funzione in A.
Ora, per il teorema di Weiestrass, la funzione è continua nel suo dominio e A è un insieme chiuso e limitato. Quindi deve ammettere per forza massimo e minimo assoluti al suo interno.
Procediamo calcolando le derivate parziali della funzione:
$(\deltaf)/(\deltax) = \frac{8xy^4}{(x^2+y^2)^2}$
$(\deltaf)/(\deltay) = \frac{8x^4y}{(x^2+y^2)^2}$
Entrambi le derivate parziali hanno come punti critici:
-(0,0)
-l'asse x
-l'asse y
Quindi si ha che i punti critici all'interno di A sono i "pezzi" di assi cartesiani:
-4<=x<=-2
2<=y<=4
l'origine è esclusa da A, quindi non si conta.
Come posso procedere all'analisi con la matrice hessiana se al posto di punti definiti ho pezzi interi di asse?
Grazie a tutti.
$f(x,y)=\{(\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2} if (x,y)!=(0,0)),(0 if (x,y)=(0,0)):}$
e sia $A={(x,y)in\RR^2 : 4<=x^2+y^2<=16, x<=y}$. Determinare massimi e minimi della funzione in A.
Ora, per il teorema di Weiestrass, la funzione è continua nel suo dominio e A è un insieme chiuso e limitato. Quindi deve ammettere per forza massimo e minimo assoluti al suo interno.
Procediamo calcolando le derivate parziali della funzione:
$(\deltaf)/(\deltax) = \frac{8xy^4}{(x^2+y^2)^2}$
$(\deltaf)/(\deltay) = \frac{8x^4y}{(x^2+y^2)^2}$
Entrambi le derivate parziali hanno come punti critici:
-(0,0)
-l'asse x
-l'asse y
Quindi si ha che i punti critici all'interno di A sono i "pezzi" di assi cartesiani:
-4<=x<=-2
2<=y<=4
l'origine è esclusa da A, quindi non si conta.
Come posso procedere all'analisi con la matrice hessiana se al posto di punti definiti ho pezzi interi di asse?
Grazie a tutti.
Risposte
"Zerogwalur":
Ora, per il teorema di Weiestrass, la funzione è continua nel suo dominio e A è un insieme chiuso e limitato. Quindi deve ammettere per forza massimo e minimo assoluti al suo interno.
Dilla meglio questa frase. Così come l'hai scritta è sbagliata: io capisco che, come conseguenza del teorema di Weierstrass, la funzione è continua e $A$ è compatto.
Io direi:
Essendo la funzione continua in $A$, ed essendo $A$ compatto, per il teorema di Weierstrass la funzione deve avere massimo e minimo assoluti in $A$ (e non necessariamente nell'interno di $A$).
Come posso procedere all'analisi con la matrice hessiana se al posto di punti definiti ho pezzi interi di asse?
Semplice: non puoi. Che io sappia, almeno, il test della matrice Hessiana non serve a nulla se i punti critici non sono isolati. Devi trovare qualche altro trucco: ad esempio, cerca di stabilire se queste semirette sono luoghi di massimi o di minimi. Poi vediamo che conclusioni possiamo trarre.
@dissonance: come faccio a stabilire se le semirette sono luoghi di massimo o di minimo? Ho provato a cercare un esercizio del genere su un testo di analisi, ma purtroppo senza risultati. Qual è il procedimento da adottare in questo caso?
Grazie per l'aiuto.
Grazie per l'aiuto.
Questa è una cosa che non è facile spiegare senza ricorrere a disegni. Conosci il libro di esercizi di Marcellini e Sbordone? Se si, consulta la parte seconda del 2° volume, pagina 30, da "Un altro metodo per determinare i punti di massimo e minimo relativo ...".
Se poi non puoi consultare questo testo, allora vediamo cosa si può fare qui sul forum.
Se poi non puoi consultare questo testo, allora vediamo cosa si può fare qui sul forum.
Ho paura di non poter reperire quel testo. La biblioteca ove mi fornisco è piccola, e il tempo a mia disposizione è troppo breve per farlo pervenire da fuori.
Immagino che una scansione della pagina/e dove è spiegato tale procedimento non è consentita..
Potreste darmi una mano dal forum?
Grazie
Immagino che una scansione della pagina/e dove è spiegato tale procedimento non è consentita..
Potreste darmi una mano dal forum?
Grazie
Ciao, non ho fatto i conti, perchè non ho tempo, ma potresti comunque provare a calcolarti la matrice Hessiana, senza fissare alcun punto, quindi formata dalle funzioni derivate....poi ti calcoli le funzioni che determinano gli autovalori e a quel punto studi quest'ultime lungo gli "spaccati" degli assi cartesiani per vedere dove sono definite positive o negative......prova a vedere se questo tipo di studio ti porta a qualcosa!
"Zerogwalur":
Immagino che una scansione della pagina/e dove è spiegato tale procedimento non è consentita..
Scusa il ritardo... Spero che ti sia ancora utile: http://img19.imageshack.us/i/marcellini ... hessi.pdf/
Un attimo però: mi sono messo a riflettere meglio sulla posizione di tali zone di punti. Infatti il disegno di A è un semianello di coordinate:
$-4<=x<=-2$
$2<=y<=4$ e $-4<=y<=-2$.
Si vede come gli assi traccino parti della frontiera di A. L'unica parte di asse interno ad A è il segmento $-4<=x<=-2$.
Ora io ho pensato: se spezzo A in due parti, ossia 2 quarti di anello, posso considerare tale segmento come facente parte della frontiera di A.
Quindi tutti i punti critici trovati con l'analisi del $grad f$ possono essere ricondotti a punti facenti parte della frontiera di A.
Al che ho proceduto nel seguente modo:
Abbiamo due quarti di anello, le cui frontiere sono costituite da:
1) $y=\pm sqrt(16-x^2)$ compreso tra: $-4<=x<=0$;
2) $y=\pm sqrt(4-x^2)$ compreso tra: $-2<=x<=0$;
3) $y=0$ compreso tra: $-4<=x<=-2$;
4) $x=0$ compreso tra: $-4<=y<=-2$ e $2<=y<=4$.
Facendo le opportune restrizioni otteniamo:
1) $\alpha(x)=(x,sqrt(16-x^2))=4x^2 - 1/4 x^4$ per $-4<=x<=0$
2) $\beta(x)=(x,sqrt(4-x^2))=4x^2-x^4$ per $-2<=x<=0$
3) $\gamma(x)=(x,0)=0
4) $\delta(x)=(0,y)=0
Le ultime due restrizioni non forniscono alcuna indicazione, in quanto rappresentano funzioni nulle.
Le prime due invece si. Facendone le derivate ottengo:
1) $\alpha'(x)= 8x-x^3$
2) $\beta'(x)=8x-4x^3$
le quali si annullano in:
1) $x=\pm2sqrt(2), y=0$ e $x=0, y=0$
2) $x=\pm2, y=0$ e $x=0, y=0$
i valori accettabili dalle restrizioni sono:
1) $x=-2sqrt(2), y=0$ e $x=0, y=0$
2) $x=-2, y=0$ e $x=0, y=0$
i quali sappiamo essere (dallo studio della derivata prima):
1) max:$(-2sqrt(2), 0)$; min:$(0,0)$
2) max:$(-2, 0)$; min:$(0,0)$
CONCLUSIONI (sempre se ho ragionato e calcolato bene
)
Il punto di minimo assoluto della funzione in A è chiaramente $(0,0)$ e vale $\frac{4*0*0}{0+0}=0$
Il punto di massimo assoluto qual è? Insomma, entrambi mi restituiscono $0$ come valore di $f(x,y)$. Come devo ragionare ora?
Spero di non aver scritto eresie!
Ancora un aiutino per favore!
$-4<=x<=-2$
$2<=y<=4$ e $-4<=y<=-2$.
Si vede come gli assi traccino parti della frontiera di A. L'unica parte di asse interno ad A è il segmento $-4<=x<=-2$.
Ora io ho pensato: se spezzo A in due parti, ossia 2 quarti di anello, posso considerare tale segmento come facente parte della frontiera di A.
Quindi tutti i punti critici trovati con l'analisi del $grad f$ possono essere ricondotti a punti facenti parte della frontiera di A.
Al che ho proceduto nel seguente modo:
Abbiamo due quarti di anello, le cui frontiere sono costituite da:
1) $y=\pm sqrt(16-x^2)$ compreso tra: $-4<=x<=0$;
2) $y=\pm sqrt(4-x^2)$ compreso tra: $-2<=x<=0$;
3) $y=0$ compreso tra: $-4<=x<=-2$;
4) $x=0$ compreso tra: $-4<=y<=-2$ e $2<=y<=4$.
Facendo le opportune restrizioni otteniamo:
1) $\alpha(x)=(x,sqrt(16-x^2))=4x^2 - 1/4 x^4$ per $-4<=x<=0$
2) $\beta(x)=(x,sqrt(4-x^2))=4x^2-x^4$ per $-2<=x<=0$
3) $\gamma(x)=(x,0)=0
4) $\delta(x)=(0,y)=0
Le ultime due restrizioni non forniscono alcuna indicazione, in quanto rappresentano funzioni nulle.
Le prime due invece si. Facendone le derivate ottengo:
1) $\alpha'(x)= 8x-x^3$
2) $\beta'(x)=8x-4x^3$
le quali si annullano in:
1) $x=\pm2sqrt(2), y=0$ e $x=0, y=0$
2) $x=\pm2, y=0$ e $x=0, y=0$
i valori accettabili dalle restrizioni sono:
1) $x=-2sqrt(2), y=0$ e $x=0, y=0$
2) $x=-2, y=0$ e $x=0, y=0$
i quali sappiamo essere (dallo studio della derivata prima):
1) max:$(-2sqrt(2), 0)$; min:$(0,0)$
2) max:$(-2, 0)$; min:$(0,0)$
CONCLUSIONI (sempre se ho ragionato e calcolato bene
)Il punto di minimo assoluto della funzione in A è chiaramente $(0,0)$ e vale $\frac{4*0*0}{0+0}=0$
Il punto di massimo assoluto qual è? Insomma, entrambi mi restituiscono $0$ come valore di $f(x,y)$. Come devo ragionare ora?
Spero di non aver scritto eresie!
Ancora un aiutino per favore!
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