Problema in due variabili
Ciao a tutti!
Data la funzione $x^2y$ determinare massimo e minimo globali di f nell'insieme A dove A=$2x^2+y^2<=3$
Io sono partito considerando i punti interni ed eguagliando a zero le due derivate parziali ho trovato come punto stazionario $(0,y)$ con matrice hessiana=0 dunque l'identità di questo punto resta dubbia!
Considerando invece i punti sulla frontiera ho riscritto il vincolo come: $x^2=(3-y^2)/2$
Mi sono dunque calcolato che i punti stazionari della funzione sono $(+-sqrt(3)/2;0)$
È giusto fin qui? Come proseguo?
Grazie anticipatamente!
Data la funzione $x^2y$ determinare massimo e minimo globali di f nell'insieme A dove A=$2x^2+y^2<=3$
Io sono partito considerando i punti interni ed eguagliando a zero le due derivate parziali ho trovato come punto stazionario $(0,y)$ con matrice hessiana=0 dunque l'identità di questo punto resta dubbia!
Considerando invece i punti sulla frontiera ho riscritto il vincolo come: $x^2=(3-y^2)/2$
Mi sono dunque calcolato che i punti stazionari della funzione sono $(+-sqrt(3)/2;0)$
È giusto fin qui? Come proseguo?
Grazie anticipatamente!
Risposte
L'hessiana è
\[
\begin{bmatrix}
2y & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\]
dunque sono punti di minimo relativo per $y>0$, punti massimo relativo per $y<0$ e l'origine è punto di sella. Nei punti di massimo relativo la funzione vale $0$, dunque è evidente che, essendoci punti in cui la funzione è positiva, il massimo va ricercato ai bordi di $A$.
Io fossi in te parametrizzerei il bordo dell'ellisse $(a\cos t,b \sin t)$, $0\leq t \leq 2\pi$, con $a=\sqrt{3/2}$ e $b=\sqrt{3}$.
\[
\begin{bmatrix}
2y & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\]
dunque sono punti di minimo relativo per $y>0$, punti massimo relativo per $y<0$ e l'origine è punto di sella. Nei punti di massimo relativo la funzione vale $0$, dunque è evidente che, essendoci punti in cui la funzione è positiva, il massimo va ricercato ai bordi di $A$.
Io fossi in te parametrizzerei il bordo dell'ellisse $(a\cos t,b \sin t)$, $0\leq t \leq 2\pi$, con $a=\sqrt{3/2}$ e $b=\sqrt{3}$.
Ciao grazie, per la risposta, ma non mi è ben chiaro ciò che hai scritto 
L'hessiana ha det nullo, giusto? Allora come faccio a dire che sono massimi/minimi/punti di sella?
Inoltre non mi è chiaro il discorso della parametrizzazione che a lezione non abbiamo affrontato! E poi, sono giusti i punti stazionari che ho trovato o manca qualcosa?
Grazie per la pazienza!
L'hessiana ha det nullo, giusto? Allora come faccio a dire che sono massimi/minimi/punti di sella?
Inoltre non mi è chiaro il discorso della parametrizzazione che a lezione non abbiamo affrontato! E poi, sono giusti i punti stazionari che ho trovato o manca qualcosa?
Grazie per la pazienza!
Premetto che non ho fatto neanche un calcolo e mi fido dei tuoi conti.
Analizzando i punti critici $(0,y)$ cerca di capire se sono max,min,.. utilizzando la definizione di max,min,...
In particolare si vede ad occhio che
Se $y>0$ allora esiste un intorno di $(0,y)$ tale che la funzione risulta positiva
Ma $f(0,y)=0$ allora ci troviamo di fronte a un punto di minimo.
Analogo ragionamento se $y<0$ e $y=0$
Per quanto riguarda la frontiera quello che hai fatto è corretto ( hai in pratica usato $ x^2=(3-y^2)/2 $ per ottenere una funzione a 1 variabile e hai studiato max e min di questa funzione a 1 variabile??)
Supponendo che i calcoli siano corretti, puoi usare lo stesso ragionamento precedente per dire che i punti da te trovati non sono max e min.
Se qualcosa non ti è ancora chiaro dille pure
Analizzando i punti critici $(0,y)$ cerca di capire se sono max,min,.. utilizzando la definizione di max,min,...
In particolare si vede ad occhio che
Se $y>0$ allora esiste un intorno di $(0,y)$ tale che la funzione risulta positiva
Ma $f(0,y)=0$ allora ci troviamo di fronte a un punto di minimo.
Analogo ragionamento se $y<0$ e $y=0$
Per quanto riguarda la frontiera quello che hai fatto è corretto ( hai in pratica usato $ x^2=(3-y^2)/2 $ per ottenere una funzione a 1 variabile e hai studiato max e min di questa funzione a 1 variabile??)
Supponendo che i calcoli siano corretti, puoi usare lo stesso ragionamento precedente per dire che i punti da te trovati non sono max e min.
Se qualcosa non ti è ancora chiaro dille pure
"Erick":
L'hessiana ha det nullo, giusto? Allora come faccio a dire che sono massimi/minimi/punti di sella?
Se gli autovalori dell'hessiana sono non negativi allora sono punti di minimo, mentre se sono non positivi sono punti di massimo.
Scusami ma son duro di comprendonio 
Allora, tu hai scritto che per y>0 e x=0 la funzione è positiva... ma per x=0, qualsiasi y, positiva o negativa, la funzione non dovrebbe in ogni caso valere 0?
Sì, ho proceduto come hai detto tu e mi sono trovato quei punti, ma il fatto è che tutti quei punti critici (frontiera e punti interni) sono punti nei quali la funzione vale 0.
Ora, ragionando, se attribuisco un valore positivo alla x e un valore negativo alla y la mia funzione assume un valore negativo, se x e y sono entrambi positivi assume un valore positivo... dunque mi verrebbe da pensare che tutti quei punti in cui la funzione assume valore 0 non sono né massimi né minimi....
Allora, tu hai scritto che per y>0 e x=0 la funzione è positiva... ma per x=0, qualsiasi y, positiva o negativa, la funzione non dovrebbe in ogni caso valere 0?
Sì, ho proceduto come hai detto tu e mi sono trovato quei punti, ma il fatto è che tutti quei punti critici (frontiera e punti interni) sono punti nei quali la funzione vale 0.
Ora, ragionando, se attribuisco un valore positivo alla x e un valore negativo alla y la mia funzione assume un valore negativo, se x e y sono entrambi positivi assume un valore positivo... dunque mi verrebbe da pensare che tutti quei punti in cui la funzione assume valore 0 non sono né massimi né minimi....
Io ho parlato di intorni (cosa c'entra x fissato =0 ??) Prova a rifletterci meglio e magari fai qualche disegno del dominio.
comunque per billyballo (perchè ciò che hai detto non è corretto in generale) e Erik guardate questa discussione
https://www.matematicamente.it/forum/quando-una-matrice-hessiana-e-semidefinita-t107983.html#p709111
e per l'hessiano semidefinito
qui
comunque per billyballo (perchè ciò che hai detto non è corretto in generale) e Erik guardate questa discussione
https://www.matematicamente.it/forum/quando-una-matrice-hessiana-e-semidefinita-t107983.html#p709111
e per l'hessiano semidefinito
qui
Allora, ho provato a rifletterci...
Dai ragionamenti che ho fatto con il vostro aiuto mi sembra di aver capito che il punto $0,y$ sia un punto di sella? (magari toppo alla grande
)
E gli altri due punti sulla frontiera allo stesso modo?
Dai ragionamenti che ho fatto con il vostro aiuto mi sembra di aver capito che il punto $0,y$ sia un punto di sella? (magari toppo alla grande
)E gli altri due punti sulla frontiera allo stesso modo?
Purtroppo non so come spiegarmi meglio....
Posso solo consigliarti di leggere quei 2 link che ti ho scritto prima.
E dirti che i risultati di billballo (e non il procedimento) sono corretti.
Ti invito a riscrivere se non dovessi chiarirti le idee, ma solo dopo averci riflettuto a lungo e averci impiegato il giusto tempo.
Posso solo consigliarti di leggere quei 2 link che ti ho scritto prima.
E dirti che i risultati di billballo (e non il procedimento) sono corretti.
Ti invito a riscrivere se non dovessi chiarirti le idee, ma solo dopo averci riflettuto a lungo e averci impiegato il giusto tempo.
"Wilde":
E dirti che i risultati di billballo (e non il procedimento) sono corretti.
Vero! Chiedo scusa ma dato che vedevo a "occhio" quali erano massimi e quali erano minimi, ho commesso una leggerezza cercando di giustificarli velocemente.
Per vedere a "occhio" che i punti $(0,y)$ sono minimi relativi per $y>0$, basta fare la seguente considerazione: dato un punto $(0,y)$ con $y>0$, si ha che la funzione è sempre non negativa in un intorno abbastanza piccolo di $(0,y)$. Dato che in $(0,y)$ la funzione vale $0$, questo non può che essere il minimo assunto in quello stesso intorno (dato che la funzione non diventa mai negativa in quell'intorno).
Analogamente si intuisce perché i punti $(0,y)$ sono massimi relativi quando $y<0$.
Infine lascio a te la discussione dell'origine.
Allora l'origine è un punto di sella perché si può trovare sia un intorno negativo che positivo?
Per quanto riguarda invece i punti di frontiera, mi sono accorto di aver sbagliato i conti (ero un po' fuso
)
Dunque quelli giusti son (1,1) e (-1,-1) che sostituiti nella funzione di partenza mi danno rispettivamente come valori: 1 e -1
Quindi 1 è il massimo e -1 il minimo?
Per quanto riguarda invece i punti di frontiera, mi sono accorto di aver sbagliato i conti (ero un po' fuso
)Dunque quelli giusti son (1,1) e (-1,-1) che sostituiti nella funzione di partenza mi danno rispettivamente come valori: 1 e -1
Quindi 1 è il massimo e -1 il minimo?
L'origine è un punto di sella perché $f(0,0)=0$ ma in qualunque intorno dell'origine la funzione assume valori più grandi (cioè positivi) e più piccoli (cioè negativi).
Si effettivamente il massimo è $1$ e il minimo è $-1$, ma stai tralasciando un punto di massimo e un punto di minimo: rispettivamente $(-1,1)$ e $(1,-1)$. In pratica quando hai trovato che $y$ deve valere $\pm 1$, sostituendola in $x^2=(3-y^2)/2$ trovi 4 punti.
Si effettivamente il massimo è $1$ e il minimo è $-1$, ma stai tralasciando un punto di massimo e un punto di minimo: rispettivamente $(-1,1)$ e $(1,-1)$. In pratica quando hai trovato che $y$ deve valere $\pm 1$, sostituendola in $x^2=(3-y^2)/2$ trovi 4 punti.
Sì, giusto.
Possiamo vedere invece questo caso?
Se io avessi una f: $x^2/y$ e dovessi trovare massimi e minimi, l'unico punto stazionario che trovo è $0,y$, anche in questo caso H=0
Escluso il caso dell'origine, che non è accettabile, abbiamo come prima per y>o un minimo e per y<0 un massimo?
Grazie
Possiamo vedere invece questo caso?
Se io avessi una f: $x^2/y$ e dovessi trovare massimi e minimi, l'unico punto stazionario che trovo è $0,y$, anche in questo caso H=0
Escluso il caso dell'origine, che non è accettabile, abbiamo come prima per y>o un minimo e per y<0 un massimo?
Grazie
Esatto! 
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