Problema Gradiente e Funzione Definita a Tratti
Ciao,
svolgendo vari temi d'esami di Analisi 2 mi sono imbattuto in questo esercizio che mi ha fatto emergere un po' di dubbi:
Data la funzione:
\(\displaystyle
f(x) =
\begin{cases}
\frac{3xy}{x^2 + y^2} & x,y \ne (0,0) \\
0 & x,y = (0,0)\
\end{cases}
\)
• calcolare il gradiente nell'origine
• calcolare la derivata direzionale nell'origine lungo il vettore $v=1/2i+sqrt(3)/2j$
• verificare se nell'origine vale la regola del gradiente
• alla luce del risultato ottenuto al punto precedente si dica se la funzione è differenziabile nell'origine e, se possibile, calcolare il piano tangente
Ora io ho calcolato il gradiente e mi viene:
$gradf = {(3y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2 , (3x(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2$
ma così facendo nell'origine le derivate parziali non esistono.
Se invece le calcolo usando la definizione ottengo $gradf(0,0) = {0,0}$
Nuovamente per il secondo punto uso la definizione ottenendo $(3sqrt(3))/4$
Ora il mio dubbio è:
Quando ho una funzione definita a tratti come in questo caso ho un unico gradiente o uno per ogni "definizione" ?
Si può dire che $gradf(0,0) = {0,0}$ poiché le derivate parziali di $0$ sono uguali a $0$ ?
Ovviamente (se i conti che ho fatto sono giusti) la regola del gradiente non vale nell'origine, posso quindi dire che la funzione non è differenziabile nell'origine?
Grazie
svolgendo vari temi d'esami di Analisi 2 mi sono imbattuto in questo esercizio che mi ha fatto emergere un po' di dubbi:
Data la funzione:
\(\displaystyle
f(x) =
\begin{cases}
\frac{3xy}{x^2 + y^2} & x,y \ne (0,0) \\
0 & x,y = (0,0)\
\end{cases}
\)
• calcolare il gradiente nell'origine
• calcolare la derivata direzionale nell'origine lungo il vettore $v=1/2i+sqrt(3)/2j$
• verificare se nell'origine vale la regola del gradiente
• alla luce del risultato ottenuto al punto precedente si dica se la funzione è differenziabile nell'origine e, se possibile, calcolare il piano tangente
Ora io ho calcolato il gradiente e mi viene:
$gradf = {(3y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2 , (3x(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2$
ma così facendo nell'origine le derivate parziali non esistono.
Se invece le calcolo usando la definizione ottengo $gradf(0,0) = {0,0}$
Nuovamente per il secondo punto uso la definizione ottenendo $(3sqrt(3))/4$
Ora il mio dubbio è:
Quando ho una funzione definita a tratti come in questo caso ho un unico gradiente o uno per ogni "definizione" ?
Si può dire che $gradf(0,0) = {0,0}$ poiché le derivate parziali di $0$ sono uguali a $0$ ?
Ovviamente (se i conti che ho fatto sono giusti) la regola del gradiente non vale nell'origine, posso quindi dire che la funzione non è differenziabile nell'origine?
Grazie
Risposte
Spero di non sbagliare ma se controlli il limite della funzione nell'origine, ti accorgi che non esiste e pertanto la funzione non è continua, quindi non è nemmeno differenziabile.
Per calcolare il gradiente in un punto puoi calcolare le derivate parziali in quel punto come limite dei rapporti incrementali
Per calcolare il gradiente in un punto puoi calcolare le derivate parziali in quel punto come limite dei rapporti incrementali
Giustissimo! Avevo commesso un banalissimo errore nel limite!
Dunque se non è differenziabile per definizione non vale la regola del gradiente!
Perfetto allora un'ultima domanda è giusto dire che il gradiente è "definito a tratti" ?
Dunque se non è differenziabile per definizione non vale la regola del gradiente!
Perfetto allora un'ultima domanda è giusto dire che il gradiente è "definito a tratti" ?
Essendo il gradiente il vettore delle derivate parziali, per calcolare il gradiente in un punto puoi calcolare il valore delle derivate parziali in quel punto.
\(\displaystyle \frac{df}{dx}(x_0,y_0)=\lim_{h\rightarrow 0}{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)\over h} \)
Siceramente non so se si possa definire il gradiente a tratti. Forse se definisci il gradiente su degli intervalli aperti, non su un punto.
\(\displaystyle \frac{df}{dx}(x_0,y_0)=\lim_{h\rightarrow 0}{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)\over h} \)
Siceramente non so se si possa definire il gradiente a tratti. Forse se definisci il gradiente su degli intervalli aperti, non su un punto.
Sisi, quello mi è chiaro 
infatti, come dicevo, sempre salvo errori mi esce ${0,0}$ usando la definizione
infatti, come dicevo, sempre salvo errori mi esce ${0,0}$ usando la definizione
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