Problema generale con i limiti
Presento il mio problema con questo esercizio:
$lim_(x->0)(1/(senx)-1/(1-e^x))$ entrambi i numeratori sono asintotici a $x$ e quindi ho $lim_(x->0)(1/x-1/x) = 0$. Il risultato dell'esercizio sarebbe 1/2. Quindi ho pensato (sempre che non mi sia sfuggito niente) che $lim_(x->0)(1/x-1/x)$ non si può fare perchè devo pensare che in realta $lim_(x->0)1/x=oo$ e quindi mi uscirebbe $oo-oo$ che è ovviamente una forma indeterminata. Bene, allora nei limiti quando faccio delle semplificazioni tra incognite devo prima sostituire il valore dell'incognita con il suo limite, se mi esce una forma indeterminata non la posso fare , se invece la forma è determinata, supponiamo che sia stato $lim_(x->1)$, allora la posso fare. Dopo qualche esercizio incontro un limite come questo $lim_(x->oo)(x*-1/x)$. Mi verrebbe voglia di semplificare $x*-1/x=-1$ ma applicando il ragionamento fatto prima(che sicuramente è sbagliato) non posso perchè in realtà avrei $oo/oo*-1$ quindi non posso semplificare. Guardo la soluzione e vedo che qui semplifica. Allora arrivo alla conclusione che nelle somme e sottrazioni tra incognite nei limiti non posso farle le semplificazioni mentre con prodotti o divisioni posso farle. Qualcuno mi da una delucidazione su ciò perchè questa cosa non mi è molto chiara , dandomi anche una spiegazione se possibile.
Grazie mille!
$lim_(x->0)(1/(senx)-1/(1-e^x))$ entrambi i numeratori sono asintotici a $x$ e quindi ho $lim_(x->0)(1/x-1/x) = 0$. Il risultato dell'esercizio sarebbe 1/2. Quindi ho pensato (sempre che non mi sia sfuggito niente) che $lim_(x->0)(1/x-1/x)$ non si può fare perchè devo pensare che in realta $lim_(x->0)1/x=oo$ e quindi mi uscirebbe $oo-oo$ che è ovviamente una forma indeterminata. Bene, allora nei limiti quando faccio delle semplificazioni tra incognite devo prima sostituire il valore dell'incognita con il suo limite, se mi esce una forma indeterminata non la posso fare , se invece la forma è determinata, supponiamo che sia stato $lim_(x->1)$, allora la posso fare. Dopo qualche esercizio incontro un limite come questo $lim_(x->oo)(x*-1/x)$. Mi verrebbe voglia di semplificare $x*-1/x=-1$ ma applicando il ragionamento fatto prima(che sicuramente è sbagliato) non posso perchè in realtà avrei $oo/oo*-1$ quindi non posso semplificare. Guardo la soluzione e vedo che qui semplifica. Allora arrivo alla conclusione che nelle somme e sottrazioni tra incognite nei limiti non posso farle le semplificazioni mentre con prodotti o divisioni posso farle. Qualcuno mi da una delucidazione su ciò perchè questa cosa non mi è molto chiara , dandomi anche una spiegazione se possibile.
Grazie mille!
Risposte
Ho trovato un altro possibile metodo per la risoluzione del primo limite (che mi da lo stesso risultato) $lim_(x->0) (1/x-1/x) = lim_(x->0) ((1-1)/x)$
x in realtà non è proprio zero, è un "qualcosa" che tende a zero, quindi $0/$qualcosa di piccolissimo(ma diverso da zero) fa sempre 0.
x in realtà non è proprio zero, è un "qualcosa" che tende a zero, quindi $0/$qualcosa di piccolissimo(ma diverso da zero) fa sempre 0.
Le stime asintotiche non funzionano bene con le differenze, funzionano a meraviglia con prodotti e quozienti di funzioni. Il primo esempio che proponi mette in risalto appunto questo difetto.
Ricorda che se $f(x) \mbox{ asintotico a } f_1(x)\mbox{ e }g(x)\mbox{ asintotico a } g_1(x)\mbox{ per }x\to x_0$ allora
$a)\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f_1(x)}{g_1(x)}$
$b) \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)= \lim_{x\to x_0}f_1(x)g_1(x)$
Ricorda che se $f(x) \mbox{ asintotico a } f_1(x)\mbox{ e }g(x)\mbox{ asintotico a } g_1(x)\mbox{ per }x\to x_0$ allora
$a)\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f_1(x)}{g_1(x)}$
$b) \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)= \lim_{x\to x_0}f_1(x)g_1(x)$
"Mathita":
Le stime asintotiche non funzionano bene con le differenze, funzionano a meraviglia con prodotti e quozienti di funzioni. Il primo esempio che proponi mette in risalto appunto questo difetto.
Cioè quindi se fosse stato $lim_(x->0)(1-e^x)/(senx)$ allora avrei potuto scrivere che $1-e^x$ è asintotico a $x$ mentre con somma e sottrazioni no? Bah la cosa mi sembra un pò strana dato che indipendentemente dall'operazione che sto facendo io so che per $x->0 e^x-1 ~ x $ e quindi lo riscrivo cosi.
Ciao,
ti invito a leggere il mio intervento in questo post che ti potrebbe chiarire le idee viewtopic.php?f=36&t=154507. In ogni caso il tuo problema è che non basta usare le stime asintotiche per risolvere il limite, infatti le due stime si annullano. Bisogna indagare più a fondo sul comportamento delle funzioni. Per il secondo limite hai al numeratore e al denominatore $x$, il limite è per $x->+infty$ puoi dunque tranquillamente semplificare. In generale quando vai a risolvere limiti che tendono a infinito, devi raccogliere al numeratore e al denominatore la funzione che va più velocemente all'infinito. Se chiaramente, come in questi caso, hai la stessa funzione il risultato del limite sarà dato dal rapporto dei coefficienti delle funzioni che hai raccolto. In generale quello che ha detto Mathita è vero, ma fai sempre attenzione.
ti invito a leggere il mio intervento in questo post che ti potrebbe chiarire le idee viewtopic.php?f=36&t=154507. In ogni caso il tuo problema è che non basta usare le stime asintotiche per risolvere il limite, infatti le due stime si annullano. Bisogna indagare più a fondo sul comportamento delle funzioni. Per il secondo limite hai al numeratore e al denominatore $x$, il limite è per $x->+infty$ puoi dunque tranquillamente semplificare. In generale quando vai a risolvere limiti che tendono a infinito, devi raccogliere al numeratore e al denominatore la funzione che va più velocemente all'infinito. Se chiaramente, come in questi caso, hai la stessa funzione il risultato del limite sarà dato dal rapporto dei coefficienti delle funzioni che hai raccolto. In generale quello che ha detto Mathita è vero, ma fai sempre attenzione.
"xAle":
Ciao,
ti invito a leggere il mio intervento in questo post che ti potrebbe chiarire le idee viewtopic.php?f=36&t=154507. In ogni caso il tuo problema è che non basta usare le stime asintotiche per risolvere il limite, infatti le due stime si annullano. Bisogna indagare più a fondo sul comportamento delle funzioni. Per il secondo limite hai al numeratore e al denominatore $x$, il limite è per $x->+infty$ puoi dunque tranquillamente semplificare. In generale quando vai a risolvere limiti che tendono a infinito, devi raccogliere al numeratore e al denominatore la funzione che va più velocemente all'infinito. Se chiaramente, come in questi caso, hai la stessa funzione il risultato del limite sarà dato dal rapporto dei coefficienti delle funzioni che hai raccolto. In generale quello che ha detto Mathita è vero, ma fai sempre attenzione.
Visto che non c'è un metodo meccanico per risolvere i limiti , come posso sapere se il mio studio va approfondito?
E' proprio questa la difficoltà. Quando vedi che con i limiti notevoli/stime asintotiche non riesci a risolvere il limite procedi con gli sviluppi di Taylor. Avrai poi un altro problema, molte volte non è chiaro a che grado di sviluppo tu debba fermarti. Lo capisci un po con l'esperienza e un po con qualche tentativo. Fai comunque molta attenzione alcune volte i limiti notevoli/stime asintotiche possono trarti in inganno anche quando non esce fuori una forma indeterminata, ne parlavo sempre in quel post che ti ho linkato al messaggio precedente 
"xAle":
E' proprio questa la difficoltà. Quando vedi che con i limiti notevoli/stime asintotiche non riesci a risolvere il limite procedi con gli sviluppi di Taylor. Avrai poi un altro problema, molte volte non è chiaro a che grado di sviluppo tu debba fermarti. Lo capisci un po con l'esperienza e un po con qualche tentativo. Fai comunque molta attenzione alcune volte i limiti notevoli/stime asintotiche possono trarti in inganno anche quando non esce fuori una forma indeterminata, ne parlavo sempre in quel post che ti ho linkato al messaggio precedente
Si l'ho guardato, il problema è che vengo spesso tratto in inganno dagli asintotici, come nel primo esempio che ho esposto e non so se è giusto o sbagliato.
Per il primo esercizio sei sicuro che venga $1/2$?
"xAle":
Per il primo esercizio sei sicuro che venga $1/2$?
L'esercizio l'ha fatto la mia esercitatrice del corso di Analisi 1 quindi penso sia giusto, ha usato due volte de L'hopital. Ma come faccio io a sapere che 0 è sbagliato e che devo utilizzare un' altra strada mannaggia
Il limite che hai riportato tu ha come risultato $ +- infty $. Ho fatto qualche prova e molto probabilmente il testo corretto è $ lim_(x -> 0) 1/(senx)+1/(1-e^x) $. Questo limite infatti fa $1/2$. $1-e^x$ è asintotico a $-1$ dunque nel limite scritto da te nel post avresti $2/x$... Chiaramente il risultato è un infinito di segno dipendente dalla direzione in cui ti avvicini a $0$. Nel limite corretto invece di accorgi che le stime asintotiche non bastano, poichè si annullano a vicenda, devi quindi procedere con metodi alternativi. Come de l'Hopital o molto più frequentemente Taylor (le stime asintotiche sono un caso particolare degli sviluppi di Taylor)
"ezio1400":
$lim_(x->0)(1/(senx)-1/(1-e^x))$ entrambi i numeratori sono asintotici a $x$ e quindi ho $lim_(x->0)(1/x-1/x) = 0$.
Ma lo sviluppo dell'esponenziale sei sicuro venga in quella maniera? $e^x=1+x+x^2/2+...$ quindi $1-e^x=1-(1+x)=-x$ se mi fermo al secondo termine della serie.
Dunque asintoticamente va come $1/x + 1/x=2/x$, che diverge (positivamente in $0+$ o negativamente in $0-$) per cui come ti diceva l'altro utente sei sicuro che vanga $1/2$?
Spero di non aver fatto casino con la notazione e il simbolismo.
Ti consiglio di dare un occhiata al post indicato da @xAle, dove lo stesso ha dato un ottima spiegazione del problema!
Per quanto riguarda il limite che hai proposto per dare il risultato di $1/2$ a denominatore devi avere $e^x-1$, pertanto deve essere $lim_(x->0)1/sinx-1/(e^x-1) $ $=lim (e^x-1-sinx)/(sinx×(e^x-1))$, a denominatore sono sufficienti gli asintotici, mentre dato che a numeratore abbiamo una differenza dove vengono coinvolti termini di grado superiore al primo termine dello sviluppo, ricorrere mo a taylor, per cui :
$e^x=1+x+x^2/2+o (x^2)$, ed $sinx~x$, ed $e^x~(1+x) $, sostituendo avremo $lim_(x->0)(1+x+x^2/2-1-x)/(x×(1+x-1))$ $=lim (x^2/2)/x^2=1/2$
Nota bene, gli asintotici equivalgono allo sviluppo di taylor arrestato al primo termine in $x $.
Per quanto riguarda il limite che hai proposto per dare il risultato di $1/2$ a denominatore devi avere $e^x-1$, pertanto deve essere $lim_(x->0)1/sinx-1/(e^x-1) $ $=lim (e^x-1-sinx)/(sinx×(e^x-1))$, a denominatore sono sufficienti gli asintotici, mentre dato che a numeratore abbiamo una differenza dove vengono coinvolti termini di grado superiore al primo termine dello sviluppo, ricorrere mo a taylor, per cui :
$e^x=1+x+x^2/2+o (x^2)$, ed $sinx~x$, ed $e^x~(1+x) $, sostituendo avremo $lim_(x->0)(1+x+x^2/2-1-x)/(x×(1+x-1))$ $=lim (x^2/2)/x^2=1/2$
Nota bene, gli asintotici equivalgono allo sviluppo di taylor arrestato al primo termine in $x $.
Allora visto che non credete che l'esercizio proposto dia risultato 1/2 ve lo posto.
Allora cerchiamo di fare un pò di ordine. Quando ho iniziato a studiare i limiti di una funzione, lo sviluppo di taylor non mi fu spiegato inizialmente. Per la risoluzione di essi mi sono stati dati, inizialmente questi asintotici/limiti notevoli:
$sen x ∼ x , 1 − cos x ∼ 1/2*x^2 , tg x ∼ x , arcsen x ∼ x , e^x − 1 ∼ x , (1 + x)
α − 1 ∼ αx $ ecc..., ovviamente per $x->0$ dove appunto gli andavo a sostituire per avere delle semplificazioni che mi portassero ad un risultato come ad esempio:
.
Poi mi è stato introdotto il teorema di De l'Hopital con il quale è stato risolto il primo limite che ho mostrato, sul quale è nata questa discussione. Quindi mi viene appunto presentato questo limite risolubile con uno dei due procedimenti appena citati e io , come già detto , ho utilizzato i limiti notevoli dai quali mi è risultato $1/x-1/x$ e quindi zero. Quindi lasciando da parte Taylor non ho ben capito perchè questo procedimento sia sbagliato, perchè ci deve essere uno studio piu approfondito, cioè io ho risolto il limite e mi è uscito zero, è ovvio che se non ho la soluzione io non riesco a capire se è corretto o no. Spero di essere stato più chiaro e di aver trasmesso quale sia il mio problema.
P.S.: scusate ma sono difficile da convincere. Il POST l'ho già visionato ma non mi sembra sia collegato in modo stretto in quanto in quel caso il limite viene risolto a pezzi , nel mio caso no, perchè nel momento in cui faccio tendere x a 0 lo faccio per tutto il limite
Allora cerchiamo di fare un pò di ordine. Quando ho iniziato a studiare i limiti di una funzione, lo sviluppo di taylor non mi fu spiegato inizialmente. Per la risoluzione di essi mi sono stati dati, inizialmente questi asintotici/limiti notevoli:
$sen x ∼ x , 1 − cos x ∼ 1/2*x^2 , tg x ∼ x , arcsen x ∼ x , e^x − 1 ∼ x , (1 + x)
α − 1 ∼ αx $ ecc..., ovviamente per $x->0$ dove appunto gli andavo a sostituire per avere delle semplificazioni che mi portassero ad un risultato come ad esempio:
.Poi mi è stato introdotto il teorema di De l'Hopital con il quale è stato risolto il primo limite che ho mostrato, sul quale è nata questa discussione. Quindi mi viene appunto presentato questo limite risolubile con uno dei due procedimenti appena citati e io , come già detto , ho utilizzato i limiti notevoli dai quali mi è risultato $1/x-1/x$ e quindi zero. Quindi lasciando da parte Taylor non ho ben capito perchè questo procedimento sia sbagliato, perchè ci deve essere uno studio piu approfondito, cioè io ho risolto il limite e mi è uscito zero, è ovvio che se non ho la soluzione io non riesco a capire se è corretto o no. Spero di essere stato più chiaro e di aver trasmesso quale sia il mio problema.
P.S.: scusate ma sono difficile da convincere. Il POST l'ho già visionato ma non mi sembra sia collegato in modo stretto in quanto in quel caso il limite viene risolto a pezzi , nel mio caso no, perchè nel momento in cui faccio tendere x a 0 lo faccio per tutto il limite
Intanto il limite iniziale che hai riportato era $lim_(x->0)1/sinx-1/(1-e^x) $ e non quello che e' riportato in figura adesso $lim_(x->0)1/sinx-1/(e^x-1) $, che e' quello che ho svolto nel post precedente e' che da giustamente $1/2$ come risultato.
Inoltre ripartendo dall'inizio hai una forma indeterminata $infty-infty $ che devi eliminare al fine della soluzione;
Appunto perche' hai due pezzi separati per arrivare al corretto risultato del limite devi ridurre il tutto ad unica frazione con denominatore comune, facendo così a numeratore ti verrà una differenza di infinitesimi,che e' quel qualcosa che ti sfugge se lasci il limite nella forma originale e sostituisci semplicemente gli asintotici, dando così il risultato errato $1/x-1/x=0$.
Inoltre ripartendo dall'inizio hai una forma indeterminata $infty-infty $ che devi eliminare al fine della soluzione;
Appunto perche' hai due pezzi separati per arrivare al corretto risultato del limite devi ridurre il tutto ad unica frazione con denominatore comune, facendo così a numeratore ti verrà una differenza di infinitesimi,che e' quel qualcosa che ti sfugge se lasci il limite nella forma originale e sostituisci semplicemente gli asintotici, dando così il risultato errato $1/x-1/x=0$.
E come capisco che non devo sostituire con gli asintotici, alla fine potrei vedere (1-1)/x->0 perché il numeratore è 0 denominatore è vicino ma diverso da zero , quindi non avrei forma indeterminara
Quando hai dei termini sotto forma di frazioni prima di procedere allo svolgimento del limite bisogna portare a denominatore comune il tutto, dopodiché si può procedere quando possibile con gli asintotici, e dove non fosse sufficienti si ricorre agli sviluppi in serie di taylor.
Nel tuo caso hai usato subito gli asintotici , ma questo e' fuorviante e ti ha portato ad un risultato errato.
Nel tuo caso hai usato subito gli asintotici , ma questo e' fuorviante e ti ha portato ad un risultato errato.
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