Problema funzioni monotone
Salve a tutti, ho qualche problema con questo quesito, a cui non sono sicuro di aver risposto correttmente.... qualcuno mi potrebbe aiutare?
$\mbox { Sia } f:(-\infty,0)\to \mathbb{R} \mbox{ una unzione continua ed iniettiva tale che}$
$ \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.$
$ \mbox { Provare che } f \mbox { risulta crescente } $
Io ho seguito questo ragionamento qui:
si tratta di provare che, $\forall\,\,x_1,x_2 \in (-\infty,0)$ si ha che $x_1
Per ipotesi la funzione è continua ed iniettiva, e ciò significa che è certamente (strettamente) monotona. Alllra essendo strettamente monotona, dobbiamo dimostrare che essa è monotona crescente; a tale scopo utilizziamo l'ipotesi del limite, cioè:
$ \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.$
questo significa, per definizione, che:
$\forall \varepsilon>0,\,\, \exists\delta>0 : \,\,f(x)<-\varepsilon,\,\,\,\forall x\in (-\infty,0) : x<-\delta$
e dunque
$x_1
e dunque la funzione risulta monotona(strettamente) crescente.
$\mbox { Sia } f:(-\infty,0)\to \mathbb{R} \mbox{ una unzione continua ed iniettiva tale che}$
$ \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.$
$ \mbox { Provare che } f \mbox { risulta crescente } $
Io ho seguito questo ragionamento qui:
si tratta di provare che, $\forall\,\,x_1,x_2 \in (-\infty,0)$ si ha che $x_1
Per ipotesi la funzione è continua ed iniettiva, e ciò significa che è certamente (strettamente) monotona. Alllra essendo strettamente monotona, dobbiamo dimostrare che essa è monotona crescente; a tale scopo utilizziamo l'ipotesi del limite, cioè:
$ \lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty.$
questo significa, per definizione, che:
$\forall \varepsilon>0,\,\, \exists\delta>0 : \,\,f(x)<-\varepsilon,\,\,\,\forall x\in (-\infty,0) : x<-\delta$
e dunque
$x_1
e dunque la funzione risulta monotona(strettamente) crescente.
Risposte
Il valore del limite ti serve unicamente per escludere che \(f\) decresca.
"gugo82":
Il valore del limite ti serve unicamente per escludere che \(f\) decresca.
quindi non ci sono
Riesci a verificare che almeno per due punti $x_1 , x_2 \in (-oo, 0)$, con $x_1 < x_2$, si abbia $f(x_1) < f(x_2)$?
"Noisemaker":
[quote="gugo82"]Il valore del limite ti serve unicamente per escludere che \(f\) decresca.
quindi non ci sono
[/quote]No, purtroppo.
Però ti basta pochissimo per concludere.
Hai stabilito che \(f\) è strettamente monotona, quindi per dimostrare che essa cresce devi solamente escludere che essa decresca.
Per assurdo, assumi che \(f\) decresca. In tal caso, chi è \(\displaystyle \sup_{]-\infty ,0[} f\)?
"gugo82":
[quote="Noisemaker"][quote="gugo82"]Il valore del limite ti serve unicamente per escludere che \(f\) decresca.
quindi non ci sono
[/quote]No, purtroppo.
Però ti basta pochissimo per concludere .
Hai stabilito che \(f\) è strettamente monotona, quindi per dimostrare che essa cresce devi solamente escludere che essa decresca.
Per assurdo, assumi che \(f\) decresca. In tal caso, chi è \sup_{]-\infty ,0[} f\)?[/quote]
be poichè la funzione è continua e definita in $(-\infty,0)$ direi che il sup di f è 0; essendo inoltre $ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty $ la funzione non può decrescere quidi cresce ....
Ma no...
Un fatto notissimo, che va sotto il nome di teorema di regolarità delle funzioni monotone, ti assicura che, se \(f:]a,b[\to \mathbb{R}\) è decrescente allora:
\[
\lim_{x\to a^+} f(x)=\sup_{x\in ]a,b[} f(x)\qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to b^-} f(x)=\inf_{x\in ]a,b[} f(x)
\]
(e le relazioni valgono coi secondi membri scambiati nel caso \(f\) sia crescente).
Allora, se per assurdo supponi che \(f\) decresce in \(]-\infty ,0[\), dal precedente teorema segue:
\[
\sup_{]-\infty ,0[} f=\lim_{x\to -\infty} f(x) =-\infty \ldots
\]
Chiediti adesso se ciò è possibile, o se da qui arrivi ad un assurdo.
Un fatto notissimo, che va sotto il nome di teorema di regolarità delle funzioni monotone, ti assicura che, se \(f:]a,b[\to \mathbb{R}\) è decrescente allora:
\[
\lim_{x\to a^+} f(x)=\sup_{x\in ]a,b[} f(x)\qquad \text{e} \qquad \lim_{x\to b^-} f(x)=\inf_{x\in ]a,b[} f(x)
\]
(e le relazioni valgono coi secondi membri scambiati nel caso \(f\) sia crescente).
Allora, se per assurdo supponi che \(f\) decresce in \(]-\infty ,0[\), dal precedente teorema segue:
\[
\sup_{]-\infty ,0[} f=\lim_{x\to -\infty} f(x) =-\infty \ldots
\]
Chiediti adesso se ciò è possibile, o se da qui arrivi ad un assurdo.
In alternativa, seguendo il mio consiglio:
Fissato $M = f(-1) - 1$, $\exists y \in (-oo, 0)$ tale che $f(x) < M$, $\forall x \in (-oo, y)$ (definizione di limite).
Scelto $x_0 \in (-oo, \min \{ y , -1 \})$ hai che $f(x_0) < f(-1) - 1 < f(-1)$. Quindi $f$ non può decrescere.
Fissato $M = f(-1) - 1$, $\exists y \in (-oo, 0)$ tale che $f(x) < M$, $\forall x \in (-oo, y)$ (definizione di limite).
Scelto $x_0 \in (-oo, \min \{ y , -1 \})$ hai che $f(x_0) < f(-1) - 1 < f(-1)$. Quindi $f$ non può decrescere.
@Seneca: Buona questa. Non ci avevo pensato.
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