Problema Funzione Continua/Derivabile
Salve a tutti, sono in cerca di aiuto per questo esericizio:
Determinare per quali valori $\alpha$ $\beta$ $in$ $RR$ la funzione f(x) risulta:
a) continua in x=0
b) derivabile in x=0
con $f(x)={(x^(x^2),if x>0),(\alpha x + log( \beta - x ) ,if x<=0):}$
Io ho inziato in questo modo, ho calcolato:
$f(0)= log \beta$
$f'(0)= \alpha - 1/( \beta - x)$
a questo punto dovrei calcolare il limite di f(x) in 0+ ed il limite di f'(x) in 0+ esatto?
ponendoli uguali alle rispettive immagini e risolvendo il sistema dovrei ottenere i due valori che cercavo, sbaglio qualcosa nel ragionamento?
inoltre provando a risolvere i limiti ed il sistema mi ritrovo con calcoli esorbitanti, qualcuno può aiutarmi?
Grazie anticipatamente.
Determinare per quali valori $\alpha$ $\beta$ $in$ $RR$ la funzione f(x) risulta:
a) continua in x=0
b) derivabile in x=0
con $f(x)={(x^(x^2),if x>0),(\alpha x + log( \beta - x ) ,if x<=0):}$
Io ho inziato in questo modo, ho calcolato:
$f(0)= log \beta$
$f'(0)= \alpha - 1/( \beta - x)$
a questo punto dovrei calcolare il limite di f(x) in 0+ ed il limite di f'(x) in 0+ esatto?
ponendoli uguali alle rispettive immagini e risolvendo il sistema dovrei ottenere i due valori che cercavo, sbaglio qualcosa nel ragionamento?
inoltre provando a risolvere i limiti ed il sistema mi ritrovo con calcoli esorbitanti, qualcuno può aiutarmi?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Attenzione che la derivata in $0$ è un limite, quindi bisogna che concordi sia da destra che da sinistra.
Facendo il limite destro hai che
$f'_+(0)=D(x^{x^2})(0)$ (calcolo esplicito) mentre da sinistra hai la cosa che dici tu. Devono concordare ed essere finiti affinchè la derivata esista.
Se non ti aiuta, prova a postare i tuoi calcoli.
Paola
Facendo il limite destro hai che
$f'_+(0)=D(x^{x^2})(0)$ (calcolo esplicito) mentre da sinistra hai la cosa che dici tu. Devono concordare ed essere finiti affinchè la derivata esista.
Se non ti aiuta, prova a postare i tuoi calcoli.
Paola
Allora:
$f'_+ (0) =(x^(x^2))(x+2x log( x ))$
$f'_- (0) = \alpha - 1/ ( \beta - x )$
da cui posso trarre la prima equazione per il mio sistema, ovvero la condizione di derivabilità, che sarebbe:
$ (x^(x^2))(x+2x log( x ))= \alpha - 1/ ( \beta - x ) $
per quanto riguarda la continuità invece:
$\lim_{x \to \0_-}f(x)= log ( \beta )$
$\lim_{x \to \0_+}f(x)= 1 $
quindi la seconda equazione, ovvero per la continuità sarebbe:
$log ( \beta ) = 1$ da cui $ \beta = e $
resterebbe da calcolare alpha che tuttavia non mi pare cosa molto facile, per questo ho l'impressione di aver sbagliato tutto
$f'_+ (0) =(x^(x^2))(x+2x log( x ))$
$f'_- (0) = \alpha - 1/ ( \beta - x )$
da cui posso trarre la prima equazione per il mio sistema, ovvero la condizione di derivabilità, che sarebbe:
$ (x^(x^2))(x+2x log( x ))= \alpha - 1/ ( \beta - x ) $
per quanto riguarda la continuità invece:
$\lim_{x \to \0_-}f(x)= log ( \beta )$
$\lim_{x \to \0_+}f(x)= 1 $
quindi la seconda equazione, ovvero per la continuità sarebbe:
$log ( \beta ) = 1$ da cui $ \beta = e $
resterebbe da calcolare alpha che tuttavia non mi pare cosa molto facile, per questo ho l'impressione di aver sbagliato tutto
c'è un problema di base, nella mia equazione per la derivazione, devo ovviamente sostituire alle X i relativi valori ovvero 0+ e 0-... ma non riesco a calcolarli 
aiuto O_O sto delirando
aiuto O_O sto delirando
Per calcolare $f'_+(0)$ ti manca da sostituire $0$ nella tua derivata. Se è un valore "escluso" fai il limite per $x\to 0^+$.
Paola
Paola
Yes, ho ottenuto come risultati $ \alpha=1/e$ e $ \beta=e$
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