Problema esercizio infinitesimi

[LittleJames]

salve, ho bisogno di aiutor per risolvere il seguente limite, dovendo usare il criterio degli ordini di infinitesimo.

il limite è il seguente: limite per x-->0 di $ (x-xcosx)/(senx-x) $

allora, x e senx hanno ordine di infinitesimo 1, mi resta da scoprire l'ordine di infinitesimo di xcosx. Se raccolgo al numeratore al x ottengo x(1-cosx) e a questo punto so che (1-cosx) ha ordine 2. Ma comunque poi non saprei come procedere?

la mia domanda è se posso eliminare 1-cosx visto che ha ordine 2, visto che si tratta di infinitesimi e devo considerare soltanto gli ordini più bassi.

Potete illustrarmi la soluzione di questo limite? grazie mille

[francicko]

Questo limite necessità per la soluzione degli sviluppi in serie di Taylor, $lim_(x->0)(x(1-cosx))/(x-sinx) $ $=lim(x (x^2/2+o (x^2)))/(x-x+x^3/6+o(x^3 )) $ $=lim (x^3/2+o (x^3))/(x^3/6+o (x^3))$ $=lim(x^3/2)/(x^3/6)=3$
ovviamente avendo infine delle somme rispettivamente sia a numeratore che a denominatore vanno trascurati gli infinitesimi di ordine maggiore, od in maniera equivalente, come giustamente affermi, prendere solo in considerazione gli infinitesimi di ordine più basso.
Solo comunque lo sviluppo in serie ti consente di evidenziare quali sono i termini infinitesimi da trascurare, nel caso del limite in questione i termini di ordine $1$ a denominatore si elidono pertanto entrano in gioco i termini infinitesimi di ordine successivo.

[LittleJames]

grazie ho capito!