Problema esercizio convergenza totale di serie di funzioni
Ciao a tutti, sono nuovo qui! E' il primo forum a cui scrivo e quindi sono un po' impacciato nello scrivere.
Ho un problema sulla convergenza totale di questa serie di funzioni:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{e^(nx)+e^(-nx)}$ con $x\in\RR$
Dunque, intanto per $x=0$ non converge perchè il termine della serie non è infinitesimo.
Poi provo a fare un ragionamento per la sommatoria quando $x\>\0$:
se provo a maggiorarla minorando il denominatore la serie diventa:
$sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^(nx)}$. Quindi bisogna ora studiare la convergenza di questa serie di funzioni, come si fa?
Io ho capito abbastanza bene il teorema delle derivate nel caso che ci troviamo di fronte a una successione cioè:
Se ho una successione derivata $f_n'(x)$ che converge uniformente per un dato intervallo di valori di x e la successione $f_n(x)$ converge per un valore di x allora $f_n(x)$ converge uniformemente sullo stesso intervallo di valori. Questo teorema si può applicare anche nel caso delle serie al contrario? cioè studio dove converge la serie $sum_{n=1}^\infty\e^(-nx)$, che la so fare, poi ci faccio la derivata? Spero abbiate capito il mio problema.
Ho un problema sulla convergenza totale di questa serie di funzioni:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{e^(nx)+e^(-nx)}$ con $x\in\RR$
Dunque, intanto per $x=0$ non converge perchè il termine della serie non è infinitesimo.
Poi provo a fare un ragionamento per la sommatoria quando $x\>\0$:
se provo a maggiorarla minorando il denominatore la serie diventa:
$sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^(nx)}$. Quindi bisogna ora studiare la convergenza di questa serie di funzioni, come si fa?
Io ho capito abbastanza bene il teorema delle derivate nel caso che ci troviamo di fronte a una successione cioè:
Se ho una successione derivata $f_n'(x)$ che converge uniformente per un dato intervallo di valori di x e la successione $f_n(x)$ converge per un valore di x allora $f_n(x)$ converge uniformemente sullo stesso intervallo di valori. Questo teorema si può applicare anche nel caso delle serie al contrario? cioè studio dove converge la serie $sum_{n=1}^\infty\e^(-nx)$, che la so fare, poi ci faccio la derivata? Spero abbiate capito il mio problema.
Risposte
"andrea299792":
Ciao a tutti, sono nuovo qui! E' il primo forum a cui scrivo e quindi sono un po' impacciato nello scrivere.
Ho un problema sulla convergenza totale di questa serie di funzioni:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{e^(nx)+e^(-nx)}$ con $x\in\RR$
Dunque, intanto per $x=0$ non converge perchè il termine della serie non è infinitesimo.
Poi provo a fare un ragionamento per la sommatoria quando $x\>\0$:
se provo a maggiorarla minorando il denominatore la serie diventa:
$sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^(nx)}$. Quindi bisogna ora studiare la convergenza di questa serie di funzioni, come si fa?
Io ho capito abbastanza bene il teorema delle derivate nel caso che ci troviamo di fronte a una successione cioè:
Se ho una successione derivata $f_n'(x)$ che converge uniformente per un dato intervallo di valori di x e la successione $f_n(x)$ converge per un valore di x allora $f_n(x)$ converge uniformemente sullo stesso intervallo di valori. Questo teorema si può applicare anche nel caso delle serie al contrario? cioè studio dove converge la serie $sum_{n=1}^\infty\e^(-nx)$, che la so fare, poi ci faccio la derivata? Spero abbiate capito il mio problema.
Beh...la tua maggiorazione mi sembra giusta.
Inoltre, per $x>0$ la seccessione di funzioni $f_n(x)=n/(e^(xn))$ è un infinitesimo più che polinomiale per $n->+oo$. Da cui la convergenza.
Lo stesso ragionamento può essere fatto per $x<0$ prendendo come successione di funzioni $f_n(x)=n/(e^(-nx))$.
Forse ho capito dove vuoi arrivare: mi dici invece che fare inutili derivate trovo l'estremo superiore di $n/(e^(nx))$ per $x>0 $che sarà
$n/(e^(n\epsilon))$ con $0<\epsilon<1$ e poi uso uno dei modi consueti per studiare la convergenza per questa serie per esempio il metodo del rapporto.
applicandolo viene: $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/a_n=(n+1)/e^((n+1)*epsilon)\*(e^(n\epsilon))/n=1/e^epsilon<1 $ quindi mi viene che converge. E' corretto? Tuttavia non ho ancora capito come funziona quella cosa della derivata nella serie.
$n/(e^(n\epsilon))$ con $0<\epsilon<1$ e poi uso uno dei modi consueti per studiare la convergenza per questa serie per esempio il metodo del rapporto.
applicandolo viene: $\lim_{n \to \infty}(a_(n+1))/a_n=(n+1)/e^((n+1)*epsilon)\*(e^(n\epsilon))/n=1/e^epsilon<1 $ quindi mi viene che converge. E' corretto? Tuttavia non ho ancora capito come funziona quella cosa della derivata nella serie.
Ti ha semplicemente fatto notare che gli esponenziali sono simmetrici rispetto ad $x$ e quindi puoi alternativamente trascurarli considerando l'intervallo $x>0$ e $x<0$, con le medesime conclusioni di convergenza (d'altra parte nota che $e^(nx)+e^(-nx)=2cosh(nx)$ che è una funzione pari, ed in funzione di $n$ ha un'andamento "simile" ad una parabola con vertice in $(0,1)$).
"K.Lomax":
Ti ha semplicemente fatto notare che gli esponenziali sono simmetrici rispetto ad $x$ e quindi puoi alternativamente trascurarli considerando l'intervallo $x>0$ e $x<0$, con le medesime conclusioni di convergenza (d'altra parte nota che $e^(nx)+e^(-nx)=2cosh(nx)$ che è una funzione pari, ed in funzione di $n$ ha un'andamento "simile" ad una parabola con vertice in $(0,1)$).
Si, questo lo avevo capito, infatti se guardi il mio primo messaggio l'avevo già fatta giusta la maggiorazione solo che il problema è la serie derivata. Io vorrei capire se questa cosa è vera:
se $\sum_{n=0}^\infty\f_n(x)$ converge uniformemente allora anche $\sum_{n=0}^\infty\(df_n(x))/(dx)$ converge uniformemente come vale per le successioni
Una buona idea sarebbe quella di considerare la successione delle somme parziali di $\sum f_n(x)$.
Visto che la serie converge uniformemente se e solo se la successione delle somme parziali lo fa, puoi usare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata per la successione delle somme parziali e vedere che succede.
Visto che la serie converge uniformemente se e solo se la successione delle somme parziali lo fa, puoi usare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata per la successione delle somme parziali e vedere che succede.
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