Problema equazione per il calcolo di un'area
Salve ragazzi! Ho un quesito inerente al calcolo delle aree tra due curve:
$y=cosx$;
$y=x^2 - (pi)^2/4$
Premetto che sono riuscito ad arrivare al risultato corretto che dovrebbe essere $S=((pi)^3)/6+2$ sono arrivato a questo risultato notando che la funzione $y=x^2 - (pi)^2/4$ intersecava negli stessi punti di $y=cosx$ e cioè $-pi/2;pi/2$.
Inizialmente infatti avevo pensato di mettere a sistema le due curve per trovarne i punti di interesezione:
${y=cosx, y=x^2 - (pi)^2/4 $. Tuttavia non sapevo come svolgere la seguente equazione: $cosx=x^2-((pi)^2)/4$. Avete qualche suggerimento per calcolare questa equazione? Grazie mille in anticipo!
$y=cosx$;
$y=x^2 - (pi)^2/4$
Premetto che sono riuscito ad arrivare al risultato corretto che dovrebbe essere $S=((pi)^3)/6+2$ sono arrivato a questo risultato notando che la funzione $y=x^2 - (pi)^2/4$ intersecava negli stessi punti di $y=cosx$ e cioè $-pi/2;pi/2$.
Inizialmente infatti avevo pensato di mettere a sistema le due curve per trovarne i punti di interesezione:
${y=cosx, y=x^2 - (pi)^2/4 $. Tuttavia non sapevo come svolgere la seguente equazione: $cosx=x^2-((pi)^2)/4$. Avete qualche suggerimento per calcolare questa equazione? Grazie mille in anticipo!
Risposte
L'area è racchiusa tra due funzioni che si intersecano nei punti $(-pi/2, 0)$ e $(pi/2, 0)$. Nell'intervallo $(-pi/2, pi/2)$, la funzione coseno ha immagine positiva, mentre l'altra negativa, quindi si può calcolare l'area sommando l'integrale definito della funzione coseno con quello dell'opposto della seconda funzione:
$A=int_(-pi/2)^(pi/2) cos(x) \text{d}x - int_(-pi/2)^(pi/2) (x^2 - pi^2/4) \text{d}x$
Prendi la funzione $f(x)=x^2-pi^2/4-cosx$
$df(x)=2x+sinx$ e $d^2f(x)=2+cosx$
Ora $d^2f(x)$ è sempre strettamente positiva quindi $df$ è strettamente crescente su tutto $RR$
Essendo strettamente crescente $df$ se ammette uno zero in $RR$ esso è unico.
Infatti se per assurdo così non fosse e si avessero due zeri in corrispondenza di $x_1,x_2$ allora
$x_1>x_2=>0=f(x_1)>f(x_2)=0$ assurdo. Lo stesso se $x_1
Chiaramente l’unico $0$ di $df$ allora sarà $x=0$ che si vede a occhio.
Questo significa che $df$ è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$
Da questo si desume che $f$ ha un punto di minimo in $x=0$, decresce per $x<0$ e cresce per $x>0$
Allora, noi che siamo furbi, ci rendiamo conto che $f$ può ammettere al più due zeri in $RR$
$•$ $f(0)=-pi^2/4$
Per $x>0$ $f$ è crescente e se ammette ammette uno zero,esso è unico per lo stesso motivo di prima.
Per $x<0$ $f$ è decrescente e analogamente se ammette uno zero, anche esso è unico.
Pertanto gli zeri $x_1=-pi/2$ e $x_2=pi/2$ sono gli unici punti in cui le due funzioni si incontrano.
Da questo concludiamo che l’area cercata è, a meno del segno,
$A=|int_(-pi/2)^(pi/2)(x^2-pi^2/4-cosx)dx|$
Usiamoli gli strumenti di analisi.
$df(x)=2x+sinx$ e $d^2f(x)=2+cosx$
Ora $d^2f(x)$ è sempre strettamente positiva quindi $df$ è strettamente crescente su tutto $RR$
Essendo strettamente crescente $df$ se ammette uno zero in $RR$ esso è unico.
Infatti se per assurdo così non fosse e si avessero due zeri in corrispondenza di $x_1,x_2$ allora
$x_1>x_2=>0=f(x_1)>f(x_2)=0$ assurdo. Lo stesso se $x_1
Chiaramente l’unico $0$ di $df$ allora sarà $x=0$ che si vede a occhio.
Questo significa che $df$ è positiva per $x>0$ e negativa per $x<0$
Da questo si desume che $f$ ha un punto di minimo in $x=0$, decresce per $x<0$ e cresce per $x>0$
Allora, noi che siamo furbi, ci rendiamo conto che $f$ può ammettere al più due zeri in $RR$
$•$ $f(0)=-pi^2/4$
Per $x>0$ $f$ è crescente e se ammette ammette uno zero,esso è unico per lo stesso motivo di prima.
Per $x<0$ $f$ è decrescente e analogamente se ammette uno zero, anche esso è unico.
Pertanto gli zeri $x_1=-pi/2$ e $x_2=pi/2$ sono gli unici punti in cui le due funzioni si incontrano.
Da questo concludiamo che l’area cercata è, a meno del segno,
$A=|int_(-pi/2)^(pi/2)(x^2-pi^2/4-cosx)dx|$
Usiamoli gli strumenti di analisi.
Va bene, ma la mia domanda non chiedeva come poter calcolare l'area (anche perché come ho detto sono riuscito a calcolarla), bensì volevo sapere come risolvere questa equazione: $cosx=x^2-(pi^2)/4$
Comunque anto_zoolander piuttosto che calcolare la derivata delle due funzioni bastava semplicemente studiare la positività di $y=x^2-(pi^2)/4$ e vedere dove intersecava dato che (fortunatamente) sappiamo com'è l'andamento di $y=cosx$ 
, e anche perchè si nota ad occhio che $x^2-(pi^2)/4$ una parabola con un minimo in x=0
, e anche perchè si nota ad occhio che $x^2-(pi^2)/4$ una parabola con un minimo in x=0
Ma te l’ho detto come risolverla. Ti ho mostrato che se ammette soluzioni, ne ammette soltanto due. Se poi avevi intenzione di studiare il tutto per via grafica è altro.
Ma in sostanza: è risolvibile non facendo tutte queste speculazioni?
No fa parte delle equazioni trascendenti
Va bene grazie mille 
Ma una cosa: sei sicuro che bastasse quello? In caso affermativo dove stava il problema?
Ciao anto_zoolander, scusa se ti rispondo solo ora, non avevo visto il messaggio. Si volevo solo capire se potessi risolvere quell'equazione in qualche modo per trovare i punti di intersezione con l'altra curva, però nel momento in cui ho studiato le intersezioni con gli assi per ciascuna curva ho notato che intersecavano negli stessi punti. Cioè volevo solo capire se in qualche modo quell'equazione trascendente potesse essere risolta
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