Problema equazione differenziale
Salve a tutti devo risolvere il seguente problema di Cauchy $y'=(y^2-1)*(e^x/2)$, $y(0)=0$
La soluzione generale mi viene $y= (e^(e^x +c)+1)/(1- e^(e^x+c))$, mi chiedo se sia corretta o se ho fatto errori da qualche parte.
Grazie per l'aiuto
Emanuele
La soluzione generale mi viene $y= (e^(e^x +c)+1)/(1- e^(e^x+c))$, mi chiedo se sia corretta o se ho fatto errori da qualche parte.
Grazie per l'aiuto
Emanuele
Risposte
Direi che va bene... !
eppure se cerco la soluzione particolare, sostituendo a $y=0$ e $x=0$ ottengo $0= e^(1+c)+1$ che non è una identità per qualsiasi valore di $c$.
Dove sto sbagliando?
Dove sto sbagliando?
io non mi trovo con la tua soluzione. 
"paolotesla91":
io non mi trovo con la tua soluzione.
l'ho risolta con il metodo delle variabili separabili pertanto si ha $int 1/(y^2-1) dy = int e^x/2 dx$,
viene $1/2 ln((y-1)/(y+1)) = 1/2(e^x +c)$, cioè eliminando $1/2$ ed il logaritmo $(y-1)/(y+1) = e^(e^x+c)$, da cui dopo opportuni calcoli arrivo alla soluzione postata.
Però non mi viene il calcolo della soluzione particolare.
Non ho svolto tutto l'esercizio ma sei sicuro che non ci sia un valore assoluto nell'argomento dell'integrale? Questo potrebbe sistemare qualche segno almeno per certi valori..
Penso che devi metter $c=-1$
"Quinzio":
Penso che devi metter $c=-1$
se io sostituisco a $c$ $-1$ ottengo $0=e^(1-1)+1$ e cioè $0=2$ assurdo. D'altra parte non esiste il logaritmo di un numero minore uguale a $0$, essendo l'insieme di definizione del logaritmo per tutte le $x>0$.
Faccio da qualche parte un errore ma non riesco a trovarlo oppure c'è un problema nell'esercizio. Sta diventando un rompicapo e mi sono impantanato.
$[log|(y-1)/(y+1)|=e^x-1] rarr [|(y-1)/(y+1)|=e^(e^x-1)] rarr [(1-y)/(1+y)=e^(e^x-1)] rarr [y=(1-e^(e^x-1))/(1+e^(e^x-1))]$
"speculor":
$[log|(y-1)/(y+1)|=e^x-1] rarr [|(y-1)/(y+1)|=e^(e^x-1)] rarr [(1-y)/(1+y)=e^(e^x-1)] rarr [y=(1-e^(e^x-1))/(1+e^(e^x-1))]$
Non mi è chiaro solo come si toglie il valore assoluto, non ricordo proprio cosa succedeva, se qualcuno mi può illuminare, perchè non ho trovato riferimenti adatti sul web.
Grazie.
se non ricordo male, avendo il valore assoluto ho praticamente due equazione nel caso dovrei avere:
$f(x) = g(x)$ oppure $f(x) = -g(x)$ e quindi nel caso particolare esiste la soluzione solo nel secondo caso.
$f(x) = g(x)$ oppure $f(x) = -g(x)$ e quindi nel caso particolare esiste la soluzione solo nel secondo caso.
"emanuele78":
Salve a tutti devo risolvere il seguente problema di Cauchy $y'=(y^2-1)*(e^x/2)$, $y(0)=0$
La soluzione generale mi viene $y= (e^(e^x +c)+1)/(1- e^(e^x+c))$, mi chiedo se sia corretta o se ho fatto errori da qualche parte.
Grazie per l'aiuto
Emanuele
Non c'è bisogno di usare il valore assoluto, in questo caso, visto che hai un problema di Cauchy.
Poiché la condizione iniziale è y(0)=0, la tua soluzione rimarrà confinata tra -1 e 1.
Quindi $y^2-1$ è negativo. Pertanto l'integrale non è $ln((y-1)/(y+1))$ ma $ln( - (y-1)/(y+1))$.
Ti faccio notare, incidentalmente, che $ln((y-1)/(y+1))$ non puoi calcolarlo per y=0, che è il valore iniziale
Se vuoi dare un'occhiata qui, ai primissimi esempi:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... -utang.pdf
ottima osservazione, nulla da dire. Solo che arrivi a certi livelli solo dopo una lunga esperienza.
Purtroppo giorni fa sono stato rimandato all'orale di analisi II, nonostante avessi fatto un compito scritto da 29, e nonostante la prof. sapesse che sono uno studente lavoratore. All'orale sono caduto perchè il Marcellini Sbordone non è molto chiaro in alcuni punti e la prof. voleva che dicessi certe definizioni nel modo da lei spigato in classe.
Ci sono voluti alcuni giorni per riprendermi dallo shock, ma adesso voglio rifarmi a Giugno.
Speriamo bene.
Scusate l'OT e grazie dell'aiuto.
Purtroppo giorni fa sono stato rimandato all'orale di analisi II, nonostante avessi fatto un compito scritto da 29, e nonostante la prof. sapesse che sono uno studente lavoratore. All'orale sono caduto perchè il Marcellini Sbordone non è molto chiaro in alcuni punti e la prof. voleva che dicessi certe definizioni nel modo da lei spigato in classe.
Ci sono voluti alcuni giorni per riprendermi dallo shock, ma adesso voglio rifarmi a Giugno.
Speriamo bene.
Scusate l'OT e grazie dell'aiuto.
"emanuele78":
Purtroppo giorni fa sono stato rimandato all'orale di analisi II, nonostante avessi fatto un compito scritto da 29, e nonostante la prof. sapesse che sono uno studente lavoratore. All'orale sono caduto perchè il Marcellini Sbordone non è molto chiaro in alcuni punti e la prof. voleva che dicessi certe definizioni nel modo da lei spigato in classe.
Ci sono voluti alcuni giorni per riprendermi dallo shock, ma adesso voglio rifarmi a Giugno.
Speriamo bene.
Cazz! In bocca al lupo.
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