Problema difficile, una sfida
Salve a tutti, sono uno studente del liceo, e mi sono imbattuto per caso in questo simpatico problema, che vi propongo. Premetto che le mie conoscenze di matematica sono abbastanza ampie, infatti conosco l'addizione e anche la moltiplicazione tra interi. Positivi possibilmente.
$ lim_(x -> +oo) 1/x int_(1)^(x) (log(1+s))/((1+log s)sqrt(1+s^2)) ds $
Visto che se non metto le mie idee non mi aiutate, vi annoierò con alcune delle mie elucubrazioni:
pensai a derivare l'integrale e a farlo tendere ad infinito, trovando (a meno di errori) il risultato $ 0 $ .
Da ciò ho concluso che l'integrale definitivamente si comporta come una costante, perciò fratto x e limitato all'infinito mi da 0. Valutate voi, a me non convince del tutto :/
$ lim_(x -> +oo) 1/x int_(1)^(x) (log(1+s))/((1+log s)sqrt(1+s^2)) ds $
Visto che se non metto le mie idee non mi aiutate, vi annoierò con alcune delle mie elucubrazioni:
pensai a derivare l'integrale e a farlo tendere ad infinito, trovando (a meno di errori) il risultato $ 0 $ .
Da ciò ho concluso che l'integrale definitivamente si comporta come una costante, perciò fratto x e limitato all'infinito mi da 0. Valutate voi, a me non convince del tutto :/
Risposte
Secondo me in questo caso viene bene il Teorema della media. Puoi scrivere:
Posto $log(1+c)/[(1+logc)sqrt(1+c^2)]=f(c)=K, K\inRR$ dovresti avere quindi:
$\int_{1}^xlog(1+s)/[(1+logs)sqrt(1+s^2)]ds=(x-1)log(1+c)/[(1+logc)sqrt(1+c^2)]$.
Posto $log(1+c)/[(1+logc)sqrt(1+c^2)]=f(c)=K, K\inRR$ dovresti avere quindi:
$\lim_{x\to+\infty}1/x\int_{1}^xlog(1+s)/[(1+logs)sqrt(1+s^2)]ds=\lim_{x\to+\infty}K(x-1)/x=K\lim_{x\to+\infty}(x-1)/x=K=f(c), c\in[1,+\infty)$.
la funzione integranda risuta definita positiva in tutto l'intervallo di integrazione; allora per il teorema fondamentale del calcolo integrale hai che, detta $F(x)$ una generica primitiva della funzione integranda,
\begin{align}
\int_{1}^x\frac{\ln(1+s)}{[(1+\ln s)\sqrt{1+s^2}]}ds =F(x)-F(1)
\end{align}
il limite si presenta in forma indetrminata del tipo $\infty/\infty$, in quanto l'integrale risulta divergente a $+\infty$, e dunque applicando la regola di De L'Hopital si ha:
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\int_{1}^x\frac{\ln(1+s)}{[(1+\ln s)\sqrt{1+s^2}]}ds}{x}&= \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)-F(1)}{x}\stackrel{\bf(H)}{=} \lim_{x\to+\infty}\frac{F'(x)-0}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+x)}{[(1+\ln x)\sqrt{1+x^2}]}\\
&\sim\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{ |x| \ln x }=\lim_{x\to+\infty}\frac{1 }{ x }=0
\end{align}
\begin{align}
\int_{1}^x\frac{\ln(1+s)}{[(1+\ln s)\sqrt{1+s^2}]}ds =F(x)-F(1)
\end{align}
il limite si presenta in forma indetrminata del tipo $\infty/\infty$, in quanto l'integrale risulta divergente a $+\infty$, e dunque applicando la regola di De L'Hopital si ha:
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\int_{1}^x\frac{\ln(1+s)}{[(1+\ln s)\sqrt{1+s^2}]}ds}{x}&= \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)-F(1)}{x}\stackrel{\bf(H)}{=} \lim_{x\to+\infty}\frac{F'(x)-0}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+x)}{[(1+\ln x)\sqrt{1+x^2}]}\\
&\sim\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{ |x| \ln x }=\lim_{x\to+\infty}\frac{1 }{ x }=0
\end{align}
Alla seconda: più o meno è come ho fatto io!! Che bello!!
Grazie a tutti!
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