Problema differenziabilità.
Ragazzi scusate mi sto scervellando su un esercizio, dove non riesco a trovare una soluzione.
L'esercizio è il seguente:
Sia F(x,y) una funzione definita nell aperto A del piano, sia $(x0,y0)inA$ tale che $nabla f(x0,y0)=(0,1)$ e supponiamo che
la derivata direzionale in $(x0,y0)$ vale 1,dove $(lambda)=(1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$.Dire se le seguenti risposte sono vere o false:
1)f non è differenziabile in $(x0,y0)$.
2)non si può dire niente sulla differenziabilità di f nell intervallo.
3)f ammette derivata direzionale in $(x0,y0)$, nella direzione $(lambda)=(sqrt(3)/2,1/2))$.
Premesso che ho letto il regolamento,quindi so che dovrei postare almeno una soluzione mia, qui non so proprio come partire..abbiate pietà di me!
L'esercizio è il seguente:
Sia F(x,y) una funzione definita nell aperto A del piano, sia $(x0,y0)inA$ tale che $nabla f(x0,y0)=(0,1)$ e supponiamo che
la derivata direzionale in $(x0,y0)$ vale 1,dove $(lambda)=(1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$.Dire se le seguenti risposte sono vere o false:
1)f non è differenziabile in $(x0,y0)$.
2)non si può dire niente sulla differenziabilità di f nell intervallo.
3)f ammette derivata direzionale in $(x0,y0)$, nella direzione $(lambda)=(sqrt(3)/2,1/2))$.
Premesso che ho letto il regolamento,quindi so che dovrei postare almeno una soluzione mia, qui non so proprio come partire..abbiate pietà di me!
Risposte
Se $f$ fosse differenziabile si avrebbe $D_ul(v) f (x_0,y_0) = grad(f(x_0,y_0)) * ul(v)$.
Ma $grad(f)*(1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) = -1/sqrt(2) != 1 => f$ non è differenziabile in $(x_0,y_0)$.
Ma $grad(f)*(1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) = -1/sqrt(2) != 1 => f$ non è differenziabile in $(x_0,y_0)$.
Dv è la derivata direzionale?
Ho capito, Grazie mille.Per l ultimo punto?
Ci puoi arrivare da solo al motivo per cui la $(3$ è falsa..
non credo di poterci arrivare...
Anzi aspetta, a rileggerlo bene non saprei dire nemmeno io se è vera o falsa. Potresti controllare di aver copiato bene la traccia? Anche perchè leggo un
"..differenziabilità di f nell'intervallo.."che mi lascia un po' perplesso..
siccome è scritto dal mio professore di corso, penso che ci sia un errore, credo volesse intendere (x0,y0).
Ok, dunque: abbiamo detto che $f$ non è differenziabile in $ul(x)=(x_0,y_0)$ in quanto non vale $D_(1/sqrt(2),-1/sqrt(2)) (ul(x))= grad(f(ul(x)))*(1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$, condizione necessaria alla differenziaiblità.
Non abbiamo quindi nemmeno la garanzia dell'esistenza di ogni derivata direzionale, per le informazioni che ho direi che non posso dire se è vera o falsa la $3$. Ci penso un po' meglio e ti faccio sapere, ma per ora la mia conclusione è questa.
Non abbiamo quindi nemmeno la garanzia dell'esistenza di ogni derivata direzionale, per le informazioni che ho direi che non posso dire se è vera o falsa la $3$. Ci penso un po' meglio e ti faccio sapere, ma per ora la mia conclusione è questa.
Ti ringrazio molto, mica potresti darmi una dritta per l ultimo topic che ho postato anche?
in particolare c'è un teorema (teorema della differenziabilità totale) che afferma che se la funzione ha le sole derivate parziali continue nell'intorno di un punto, allora è differenziabile in quel punto.
in questo caso hai trovato che f non è differenziabile in quel punto, quindi boh! cioè se non vale la tesi, niente si può dire sull'ipotesi... quindi al massimo io direi che non puoi CONCLUDERE che la 3 sia vera. ma non puoi AFFERMARE che sia falsa.
in altre parole: dai dati che hai, non puoi stabilire se quanto detto dalla terza affermazione sia vero o falso; ma puoi sicuramente dire che NON puoi dedurre quell'affermazione dai dati in possesso (es: "oggi piove => i lupi si stanno estinguendo", l'intera frase è "falsa" nel senso che non c'è alcuna correlazione tra ipotesi e tesi.)
ovviamente se fosse questo ciò che è inteso dall'esercizio, la logica starebbe un po' piangendo in questo momento
in questo caso hai trovato che f non è differenziabile in quel punto, quindi boh! cioè se non vale la tesi, niente si può dire sull'ipotesi... quindi al massimo io direi che non puoi CONCLUDERE che la 3 sia vera. ma non puoi AFFERMARE che sia falsa.
in altre parole: dai dati che hai, non puoi stabilire se quanto detto dalla terza affermazione sia vero o falso; ma puoi sicuramente dire che NON puoi dedurre quell'affermazione dai dati in possesso (es: "oggi piove => i lupi si stanno estinguendo", l'intera frase è "falsa" nel senso che non c'è alcuna correlazione tra ipotesi e tesi.)
ovviamente se fosse questo ciò che è inteso dall'esercizio, la logica starebbe un po' piangendo in questo momento
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