Problema diagonalizzazione matrice (molteplicità 2)

[saretta6996]

Ciao a tutti, ho questa matrice:
(2 3 3)
(2 1 1)
(0 0 -1)
Devo verificare se è diagonalizzabile. Tralascio la ricerca degli autovalori che sono L1=4 e L2,3=-1 (con molteplicità 2).

Svolgendo per L1=4 arrivo all'autospazio E(4)={(0,0,0)}
Ho un problema però per L2=-1, infatti sostituendo -1 ai "lambda", ottengo
(3 3 3)
(2 2 1)
(0 0 0)

e quindi devo mettere a sistema
3x + 3y + 3z = 0
2x + 2y + z = 0

Come devo procedere ora? E' chiaro (direi) che z = 0, ma x e y?

Grazie a tutti!

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Sia

[math]S[/math]

l'endomorfismo di

[math]\mathbb{R}^3[/math]

con matrice associata

[math]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\\[/math]

, rispetto alla base canonica.

Stabilire se

[math]S[/math]

è diagonalizzabile e in caso
positivo individuarne la matrice diagonalizzante.


Calcoliamo il polinomio caratteristico di

[math]A[/math]

:

[math]p_A(\lambda) = \det(A - \lambda\,I) = (\lambda + 1)^2(4 - \lambda)[/math]

.
Gli autovalori di

[math]A[/math]

sono gli zeri del suo polinomio
caratteristico:

[math]\lambda_1 = -1[/math]

(doppio),

[math]\lambda_2 =4\\[/math]

.

Consideriamo prima l'autovalore

[math]\lambda = -1[/math]

. Il relativo autospazio è dato
dalle soluzioni del sistema omogeneo associato alla matrice

[math]A + I[/math]

:

[math]\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 & | & 0 \\ 2 & 2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0\end{bmatrix} \; \Rightarrow \; \begin{cases} 3x + 3y + 3z = 0 \\ 2x + 2y + z = 0 \end{cases} \; \Rightarrow \; \begin{cases} x = - t \\ y = t \\ z = 0 \end{cases} \\[/math]

,
dunque, si ha:

[math]E(-1) = \, < (-1,\,1,\,0) >\\[/math]

.

Dato che

[math]ma\left(\lambda_1\right) = 2 \ne mg(\lambda_1) = 1[/math]

, la condizione necessaria
per la diagonalizzabilità non è verificata, dunque

[math]S\\[/math]

non è diagonalizzabile.

Ora, solo a scopo didattico, consideriamo anche l'autovalore

[math]\lambda = 4[/math]

.
Il relativo autospazio è dato dalle soluzioni del sistema omogeneo associato
alla matrice

[math]A - 4\,I[/math]

:

[math]\begin{bmatrix} -2 & 3 & 3 & | & 0 \\ 2 & -3 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & -5 & | & 0\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} -2x + 3y + 3z = 0 \\ 2x - 3y + z = 0 \\ - 5z=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 3t \\ y = 2t \\ z = 0 \end{cases} \\[/math]

,
dunque, si ha:

[math]E(4) = \, < (3,\,2,\,0) >\\[/math]

.


Claro? :)