Problema di Sturm-Liouville omogeneo
Ho provato a risolvere questo problema omogeneo di Sturm-Liouville:
$(x^2 y')^{\prime} + \frac{\lambda}{x^2} y = 0$, $y(\frac{1}{2}) = y(1) = 0$
L'equazione equivale a
$x^2 y'' + 2x y' + \frac{\lambda}{x^2} y = 0$, moltiplicando per $x^2$ si ottiene
$x^4 y'' + 2 x^3 y' + \lambda y = 0$
Ho provato a cercare soluzioni della forma $y = x^r$, ma sostituendo tale valore nell'equazione arrivo a
$r(r-1) x^2 + 2r x^2 + \lambda = 0$
e non so più che pesci pigliare... Qualcuno mi potrebbe dare un input?
$(x^2 y')^{\prime} + \frac{\lambda}{x^2} y = 0$, $y(\frac{1}{2}) = y(1) = 0$
L'equazione equivale a
$x^2 y'' + 2x y' + \frac{\lambda}{x^2} y = 0$, moltiplicando per $x^2$ si ottiene
$x^4 y'' + 2 x^3 y' + \lambda y = 0$
Ho provato a cercare soluzioni della forma $y = x^r$, ma sostituendo tale valore nell'equazione arrivo a
$r(r-1) x^2 + 2r x^2 + \lambda = 0$
e non so più che pesci pigliare... Qualcuno mi potrebbe dare un input?
Risposte
Ponendo $t = x^2$, si otterrebbe
$(t y')^{\prime} + \frac{\lambda}{t} y = 0$
$y(\frac{1}{4}) = y(1) = 0$
e questa sarebbe facilmente risolvibile, dato che è un'equazione di Eulero... Ma è lecita una sostituzione del genere?
$(t y')^{\prime} + \frac{\lambda}{t} y = 0$
$y(\frac{1}{4}) = y(1) = 0$
e questa sarebbe facilmente risolvibile, dato che è un'equazione di Eulero... Ma è lecita una sostituzione del genere?
"Tipper":
Ponendo $t = x^2$, si otterrebbe
$(t y')^{\prime} + \frac{\lambda}{t} y = 0$
$y(\frac{1}{4}) = y(1) = 0$
e questa sarebbe facilmente risolvibile, dato che è un'equazione di Eulero... Ma è lecita una sostituzione del genere?
Se fai una sostituzione del genere e non cambi l'operatore di derivazione la vedo dura: intendo dire che, introdotta la variabile $t$, devi cercare di trasformare le derivate $'="d"/("d"x)$ in derivate rispetto alla nuova variabile.
Ci penso un po' e vedo se riesco a trovare qualcosa.
Infatti, era proprio quello che mi lasciava perplesso... ma senza una qualche sostituzione non saprei cosa fare... Comunque grazie. 
C'è sempre la soluzione banale $y=0$. 
E' possibile che vada risolta scrivendo sviluppando la soluzione in serie?
E' possibile che vada risolta scrivendo sviluppando la soluzione in serie?
"Eredir":
C'è sempre la soluzione banale $y=0$.
Eh be', fin qui c'ero arrivato.
"Eredir":
E' possibile che vada risolta scrivendo sviluppando la soluzione in serie?
No perché il problema è omogeneo, quello che è richiesto è trovare autovalori e autofunzioni...
"Tipper":
[quote="Eredir"]E' possibile che vada risolta scrivendo sviluppando la soluzione in serie?
No perché il problema è omogeneo, quello che è richiesto è trovare autovalori e autofunzioni...[/quote]
Lo dicevo perchè l'equazione differenziale è molto simile a quella di Bessel, da cui si definiscono le omonime funzioni proprio adottando quel procedimento.
Ah... il fatto è che io ho sempre usato il metodo dello sviluppo in serie delle autofunzioni solo per problemi non omogenei... In ogni caso ho il risultato del problema, che è $\lambda_n = n^2 \pi^2$, $n \in \mathbb{N}$, $y_n(x) = A \sin(\frac{n \pi}{x})$, $A \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, solo che non capisco come arrivarci...
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