Problema di studio del dominio, della monotonia e convessità

[Garrius]

Salve a tutti, è da tanto che leggo gli esercizi postati dagli altri utenti e questo è il mio primo post sul forum.
Il mio problema è: Studiare il dominio, la monotonia e la convessità di F(x)=-2x-Integrale definito da -1 a x di e^(-t^2)dt nell'intervallo chiuso [-1;0]
Mostrare inoltre che Esiste una sola c appartenente a ]-1;0[ t.c. F(c)=0 (questo dovrebbe essere il problema di Cauchy)
Scusate se non so come scriverlo in linguaggio matematico, ma sono fermo su questo esercizio ormai da ore intere.
Il prof ci ha consigliato di non provare a calcolarlo ma di osservare solo dominio, concavità e monotonia.
Mi spiace di non avere una mia teoria ma non so neppure da dove partire.

[Brancaleone1]

Ciao

Per le formule leggi qui http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

Per regolamento devi postare prima un tuo tentativo, ma per stavolta va bene così
Proviamo a farlo passo passo.
Se ho ben capito hai:

$F(x)=-2x-int_(-1)^xe^(-t^2)dt$ in $I=[-1;0]$

Per prima cosa devi trovare il dominio dell'integranda, $e^(-t^2)$, e da lì poi si potrà trovare il dominio dell'integrale.

Qual è il dominio dell'integranda?

[Garrius]

Dunque il dominio di e^(-t^2) quindi di una funzione esponenziale è di solito tutto |R
Inoltre penso di aver capito come mai la variabile è t mentre l'intervallo dell'integrale va da -1 a x, bisogna applicare il teorema fondamentale di Torricelli_Barrow e quindi porre tutte le t come l'estremo superiore dell'integrale, cioè x.
Quindi diventerebbe $-2x$-$\int_-1^x $e^-$(x^2)$$ dx$ (mi spiace per la potenza della potenza non ho capito come farla).
Mentre per il dominio dell'integrale dovrebbe essere gli estremi dell'intervallo.
Per la monotonia calcolo la derivata prima f'(x)= $2x-$e^$(-x^2)$
Studio la derivata prima: $2x-$e^$(-x^2)$$$>=$0$ quindi $2x>e^(-x^2)$ dunque $log2x>(-x^2)$ forse sbaglio $x^2>(-log2x)$ uguale a $x>sqrt-log2x$
Cosa dovrebbe significare? La f'(x) è positiva per x maggiore di radice di -log2x quindi la primitiva è crescente per gli stessi valori?

[Brancaleone1]

Allora, c'è un po' di confusione...

"Gar93":Dunque il dominio di e^(-t^2) quindi di una funzione esponenziale è di solito tutto |R

Sì, il dominio dell'integranda è infatti $mathbb(R)$

"Gar93":Inoltre penso di aver capito come mai la variabile è t mentre l'intervallo dell'integrale va da -1 a x, bisogna applicare il teorema fondamentale di Torricelli_Barrow e quindi porre tutte le t come l'estremo superiore dell'integrale, cioè x.

Che significa "porre tutte le t come l'estremo superiore dell'integrale, cioé x"?

Il teorema Torricelli-Barrow dice semplicemente che se $f:[a,b]->mathbb(R)$ è una funzione continua, allora la funzione integrale $F(x)$ è la primitiva di $f(x)$: non capisco cosa intendi con quella frase.

"Gar93":Quindi diventerebbe $-2x$-$\int_-1^x $e^-$(x^2)$$ dx$ (mi spiace per la potenza della potenza non ho capito come farla).

Perché hai cambiato la t nell'integrale? La variabile di un integrale è "muta", nel senso che puoi metterci quello che vuoi (t,p,r,s...) senza stravolgerne il significato, ma mettere la variabile dell'estremo di integrazione è improprio - inoltre si corre il rischio di confondersi.
Lascia come scritto all'inizio: $F(x)=-2x-int_(-1)^x e^(-t^2)dt$

"Gar93":Mentre per il dominio dell'integrale dovrebbe essere gli estremi dell'intervallo.

No.
Poiché l'integranda è definita in tutto $mathbb(R)$ ed è ivi continua, allora non dobbiamo studiare alcuna convergenza.
Di per sé il dominio di questo integrale è tutto $mathbb(R)$ - volendo puoi anche riscriverlo nella forma:

\(\displaystyle \int_{-1}^x e^{-t^2}dt= \begin{cases} -\int_x^{-1} e^{-t^2}dt & \text{per } (x< -1) \\ \int_{-1}^x e^{-t^2}dt & \text{per } (x \ge -1) \end{cases} \)

Poiché è definita in tutto $mathbb(R)$, studiare come si comporta nell'intervallo $I=[-1,0]$ non presenta particolari problemi.

"Gar93":Per la monotonia calcolo la derivata prima f'(x)= $2x-$e^$(-x^2)$
Studio la derivata prima: $2x-$e^$(-x^2)$$$>=$0$ quindi $2x>e^(-x^2)$ dunque $log2x>(-x^2)$ forse sbaglio $x^2>(-log2x)$ uguale a $x>sqrt-log2x$
Cosa dovrebbe significare? La f'(x) è positiva per x maggiore di radice di -log2x quindi la primitiva è crescente per gli stessi valori?

C'è una $x$ di troppo. A noi interessa come si comporta nell'intervallo $I=[-1,0]$, dove la derivata di $F(x)$ vale:

$F'(x)=d/(dx)[-2x]-d/(dx)[int_(-1)^x e^(-t^2)dt]=-2-e^(-x^2)$

Prova a ristudiarne la monotonia

PS: per lo studio di funzioni integrali potrebbe interessarti questo topic.

[Garrius]

Grazie davvero tante per l'esempio di integrazione, è un po più chiaro ora.
Prima ho mancato di derivare $2x$ la derivata prima di F(x) è $f'(x)=-2-e^(-x^2)$
La derivata posta maggiore di zero $-2>e^(-x^2)$ diventa:
$-x^2<-2$ (secondo la proprietà dei logaritmi $x=a^y$ --> $y=loga (x)$ )
$x^2>2$
$x>sqrt(2)$
Derivata prima positiva per tutte le $x>sqrt(2)$ e negativa per tutte le $x Come trovo i punti di minimo e massimo?
Ricapitolando la monotonia:
F(x) crescente negli intervalli ]sqrt(2); +infinito[
F(x) decrescente in ] -infinito; sqrt(2)

[Brancaleone1]

"Gar93":
La derivata posta maggiore di zero $-2>e^(-x^2)$ diventa:
$-x^2<-2$ (secondo la proprietà dei logaritmi $x=a^y$ --> $y=loga (x)$ )
$x^2>2$
$x>sqrt(2)$
Derivata prima positiva per tutte le $x>sqrt(2)$ e negativa per tutte le $x

No!

$F'(x)>=0 => -2-e^(-x^2)>=0 => e^(-x^2)+2 <= 0$

Però questo significa che...

[Garrius]

Se la derivata prima è sempre negativa essa è crescente per tutte le x<0 ?

[Brancaleone1]

No: se la derivata prima non è mai positiva, come può la funzione crescere in un qualsivoglia intervallo?
Poiché è sempre strettamente negativa, la funzione è quindi monotona decrescente per tutto $mathbb(R)$, e poiché $I in mathbb(R)$, allora deve essere monotona decrescente anche in $I$.

[Garrius]

Ok bene. Per trovare eventuali punti stazionari pongo la derivata prima uguale a 0: $-e^(-x^2)-2=0$
Ottengo $x=sqrt(2)$ ma non fa parte dell'intervallo I
Quindi dato il teorema di Fermat $sqrt(2)$ non è un punto stazionario.

[Brancaleone1]

"Gar93":Ok bene. Per trovare eventuali punti stazionari pongo la derivata prima uguale a 0: $-e^(-x^2)-2=0$
Ottengo $x=sqrt(2)$ ma non fa parte dell'intervallo I

...come fai ad ottenere $x=sqrt(2)$ da $-e^(-x^2)-2=0$? Se provi a sostituire vedi che non è vero...

[Garrius]

Riprovo:
$e^(-x^2)=-2$
$ln(-2)=-x^2$
$-ln(-2)=x^2$
$sqrt(-ln(-2))=x$

[Brancaleone1]

"Gar93":Riprovo:
$e^(-x^2)=-2$
\(\displaystyle \color{red}{\ln{(-2)}=-x^2} \)
\(\displaystyle \color{red}{-\ln{(-2)}=x^2} \)
\(\displaystyle \color{red}{\sqrt{\ln{(-2)}}=x} \)

Senza offesa, ma cos'è 'sta roba?
Come puoi calcolare il logaritmo di un numero negativo?
Avrei comunque qualcosa da ridire anche sull'ultimo passaggio...

Ti avevo già detto prima che la derivata è strettamente decrescente, quindi non può annullarsi, perché

$e^(-x^2)<-2$ non può essere vero!

Ragiona sul grafico di $e^t$, poi su quello di $e^(-t)$ e infine su quello di $e^(-t^2)$: cosa noti?

[Garrius]

Hai ragione, non ho scuse per questi ultimi passaggi devo urgentemente spolverare qualche vecchio libro
Dunque la F(x)è strettamente decrescente: niente punti stazionari, calcolo la derivata seconda:
$f''(x)=2x*e^(-x^2)$
Studio il segno di f''(x)
$(2x)/(e^(x^2))>0$
$N: x>0$
$D: e^(x^2)>0$ ---> $sempre$
f''(x) è positiva per tutte le x>0, dunque F(x) è convessa per x>0
Tutto bene fin qui?

[Brancaleone1]

"Gar93":calcolo la derivata seconda:
$f''(x)=2x*e^(-x^2)$

C'è un errore...

[Garrius]

Eppure mi sembra calcolata bene, ho controllato con Wolfram-alpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-2 ... 9+derivate

Puoi darmi un suggerimento?

[Brancaleone1]

Sì scusa sono io che io mi sono confuso, avevo letto la riga sbagliata nella pagina precedente...

Sì i passaggi sono giusti, e ovviamente $F(x)$ è convessa per $x>0$

[Garrius]

Ok non mi resta che trovare la soluzione c appartenente a ]-1;0[ t.c. F(c)=0
Non ho mai fatto nulla del genere, devo sostituire 0 a tutte le x di f(x)?