Problema di Stokes
Mi potreste aiutare a risolvere il seguente problema di Stokes?
http://mmarras.altervista.org/Prove_scr ... 2_2013.pdf
E' il numero 1 della "Prova scritta del modulo di Matematica 2 (N.O.) (B) del 23/1/2013
ciò che non capisco è come comportarmi per la parametrizzazione della superficie z=1-x^2/4-y^2/9 e come applicarla poi all'integrale doppio contenente il rotore e a quello contenente la normale.
http://mmarras.altervista.org/Prove_scr ... 2_2013.pdf
E' il numero 1 della "Prova scritta del modulo di Matematica 2 (N.O.) (B) del 23/1/2013
ciò che non capisco è come comportarmi per la parametrizzazione della superficie z=1-x^2/4-y^2/9 e come applicarla poi all'integrale doppio contenente il rotore e a quello contenente la normale.
Risposte
Le parametrizzazioni sono due: una è quella del paraboloide ellittico
$z=1-x^2/4-y^2/9$
l'altra quella della curva che determina il bordo di tale paraboloide (e che, per ogni $z$ fissato, coincide con una ellisse).
Una buona parametrizzazione della superficie è la seguente
$x=2u\cos v,\ y=3u\sin v,\ z=1-u^2,\qquad u\in[0,+\infty),\ v\in[0,2\pi),\ $ (l'ultima ottenuta sostituendo)
$z=1-x^2/4-y^2/9$
l'altra quella della curva che determina il bordo di tale paraboloide (e che, per ogni $z$ fissato, coincide con una ellisse).
Una buona parametrizzazione della superficie è la seguente
$x=2u\cos v,\ y=3u\sin v,\ z=1-u^2,\qquad u\in[0,+\infty),\ v\in[0,2\pi),\ $ (l'ultima ottenuta sostituendo)
Grazie infinite, sei stato davvero d'aiuto 
Solo una piccola cosa non ho capito: la parametrizzazione della curva quale sarebbe? O il problema non la specifica proprio? ( e in effetti tra parentesi c'è scritto "impostare il calcolo dell’integrale doppio", che non potrei comunque risolvere avendo u che va da zero a più infinito come mi hai scritto tu)
Solo una piccola cosa non ho capito: la parametrizzazione della curva quale sarebbe? O il problema non la specifica proprio? ( e in effetti tra parentesi c'è scritto "impostare il calcolo dell’integrale doppio", che non potrei comunque risolvere avendo u che va da zero a più infinito come mi hai scritto tu)
Credo (ma non ne sono certo), che tu debba imporre $u=k$ con $k\in(0,+\infty)$ e verificare cosa accade al flusso del rotore quando consideri, come superficie, il paraboloide chiuso, in basso, dal piano $z=1-k^2$. Dopodiché, dovresti capire cosa succede al variare di $k$.
Il fatto che ti chieda di impostare il calcolo dell'integrale doppio credo faccia riferimento solo al fatto che tu debba usare il teorema di Stokes per calcolarlo, e quindi un integrale curvilineo.
Per inciso, la curva da determinare, a questo punto, sarebbe quella di equazione
$1-k^2=1-{x^2}/{4}-{y^2}/9$ da cui ${x^2}/{4k^2}+{y^2}/{9k^2}=1$
che è l'ellisse sul piano $z=1-k^2$. Per parametrizzarla puoi porre
$x=2k\cos t,\ y=3k\sin t,\qquad t\in[0,2\pi)$.
Il fatto che ti chieda di impostare il calcolo dell'integrale doppio credo faccia riferimento solo al fatto che tu debba usare il teorema di Stokes per calcolarlo, e quindi un integrale curvilineo.
Per inciso, la curva da determinare, a questo punto, sarebbe quella di equazione
$1-k^2=1-{x^2}/{4}-{y^2}/9$ da cui ${x^2}/{4k^2}+{y^2}/{9k^2}=1$
che è l'ellisse sul piano $z=1-k^2$. Per parametrizzarla puoi porre
$x=2k\cos t,\ y=3k\sin t,\qquad t\in[0,2\pi)$.
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