Problema di ottimizzazione vincolata

[maggiep1]

ho un problema di questo tipo:
f(x,y)=y-arcsin(1/$sqrt(x)$)
sul vincolo xy=1

io ho trovato l'insieme di definizione della funzione obiettivo che è x>=1
poi ho sostituito il vincolo esplicitato rispetto ad y nela funzione obiettivo e quindo considero la funzione di una sola variabile
g(x)=$1/x$-arcsin(1/$sqrt(x)$)

ho visto la monotonia quindi:
g'(x)=-$1/(x^2)$-$1/sqrt(1-(1/x)$>=0 che per x>=1 non è mai >=0dunque la funzione è decrescente giusto?
quindi mi aspetto che g(x) abbia un max nell'estremo superiore del suo insieme di definizione ed un inf f in nell'estremo inferiore dell'insieme di definizione
ora poichè x>=1 considero g(1)=1-pigreco/2 e questo è il max
per x che tende a +oo g(x)=0 e non è possibile che questo sia l'inf di g(x) cosa sto sbagliando qualcuno mi aiuti

[MaMo2]

Hai sbagliato la derivata dell'arcoseno.