Problema di minimo
Salve, avevo una richiesta da fare. Supponiamo di avere una equazione del tipo:
$f (x) + g(x) = c$, dove c è una costante.
Adesso supponiamo di voler trovare la x tale che f ( x) è la più piccola delle f(x) concesse.
Come si procede?
Questo problema è venuto fuori in questo modo:
Data energia potenziale ed energia cinetica come funzioni di x, sapendo che l'energia totale rimane costante, come trovare la x che minimizza l'energia potenziale?
Credevo si dovesse derivare tutto rispetto a x e porre $f'(x) + g'(x) = 0$ ma applicandolo all'esempio che ho messo non mi pare una gran cosa... boh!
$f (x) + g(x) = c$, dove c è una costante.
Adesso supponiamo di voler trovare la x tale che f ( x) è la più piccola delle f(x) concesse.
Come si procede?
Questo problema è venuto fuori in questo modo:
Data energia potenziale ed energia cinetica come funzioni di x, sapendo che l'energia totale rimane costante, come trovare la x che minimizza l'energia potenziale?
Credevo si dovesse derivare tutto rispetto a x e porre $f'(x) + g'(x) = 0$ ma applicandolo all'esempio che ho messo non mi pare una gran cosa... boh!
Risposte
una puntualizzazione: $g(x)$ è fissata come funzione, puoi/vuoi lavorare solo sulla minimizzazione della $f(x)$ giusto?...
ps una cosa: energia cinetica e potenziale in funzione di $x$? semmai $U=U(x)$, ma $K=K(dot{x})$ che è un pò diverso...
per minimizzare l'energia potenziale devi semplicemente studiare la funzione $U(x)$ trovando il minimo, sia questo $x_0$ a questo punto essendo l'equazione $K+U=E$ vera per ogni $x$, ricavi in particolare $K(x_0)+U(x_0)=E$ essendo che $x_0$ si trova sulla curva data dall'equzione dell'energia (o equivalentemente $K$ deve essere massimo... ).
ps una cosa: energia cinetica e potenziale in funzione di $x$? semmai $U=U(x)$, ma $K=K(dot{x})$ che è un pò diverso...
per minimizzare l'energia potenziale devi semplicemente studiare la funzione $U(x)$ trovando il minimo, sia questo $x_0$ a questo punto essendo l'equazione $K+U=E$ vera per ogni $x$, ricavi in particolare $K(x_0)+U(x_0)=E$ essendo che $x_0$ si trova sulla curva data dall'equzione dell'energia (o equivalentemente $K$ deve essere massimo... ).
$f(x) + g(x) = c$
- è davvero una equazione? Allora normalmente possiamo immaginare che sia soddisfatta per valori isolati di $x$. Te li spulci tutti, uno per uno
- è una identità? Allora minimizzare $f(x)$ è come minimizzare $c - g(x)$
- è davvero una equazione? Allora normalmente possiamo immaginare che sia soddisfatta per valori isolati di $x$. Te li spulci tutti, uno per uno
- è una identità? Allora minimizzare $f(x)$ è come minimizzare $c - g(x)$
grazie ad entrambi, mi era venuto questo dubbio. Avevo risolto come Fioravante, però non mi tornava molto per il fatto che derivando scompare una costante. Posso pensare che $f(x)+g(x)=c$ sia una identità su un certo intervallo R? minimizzando io trovo dei valori tali per cui $f(x)$ è minima, ma chi mi assicura che in corrispondenza esistano valori accettabili di $g(x)$ che mi rendano vera l'equazione? cioè voglio dire, derivando le costanti spariscono, quindi scrivere $f(x) + g(x) = c$ o scrivere $f(x) + g(x) = 0$ ai fini del minimo di $f(x)$ non cambia, ma ai fini del problema? cioè il mio dubbio è: se trovo un minimo di f, allora g avrà un massimo che mi renderà vera l'identità?
"Zkeggia":
Posso pensare che $f(x)+g(x)=c$ sia una identità su un certo intervallo R?
Come facciamo a rispondere a questa domanda? Sei tu che devi sapere se è una identità. Tu conosci $f$ e $g$: torturale (tanto troverai sempre un Panebianco disposto a giustificarti) e fagli sputare (assieme a qualche dente) come stano le cose.
Ok credo di aver capito. Il mio problema era un po' contorto ma credo di averlo risolto:
Supponiamo di avere $f,g:R->R$ continue e derivabili e che per un certo intervallo A si abbia $f(x) + g(x) = c$. Supponiamo di voler trovare il minimo valore di f che rende vera l'identità. Se io derivo e pongo $f'(x) = 0$ dovrò assicurarmi anche che la x trovata stia nell'intervallo. Se non ci sta comunque ottengo informazioni riguardo il comportamento di f sull'intervallo: infatti se non ci sono punti nè di massimo nè di minimo allora la funzione è monotona, quindi se ad esempio f è strettamente crescente nell'intervallo il minimo valore di f, su quell'intervallo, sarà proprio dato da $f(x_0)$, dove $x_0$ è l'estremo sinistro dell'intervallo. Non avevo fatto questo tipo di considerazione.
Supponiamo di avere $f,g:R->R$ continue e derivabili e che per un certo intervallo A si abbia $f(x) + g(x) = c$. Supponiamo di voler trovare il minimo valore di f che rende vera l'identità. Se io derivo e pongo $f'(x) = 0$ dovrò assicurarmi anche che la x trovata stia nell'intervallo. Se non ci sta comunque ottengo informazioni riguardo il comportamento di f sull'intervallo: infatti se non ci sono punti nè di massimo nè di minimo allora la funzione è monotona, quindi se ad esempio f è strettamente crescente nell'intervallo il minimo valore di f, su quell'intervallo, sarà proprio dato da $f(x_0)$, dove $x_0$ è l'estremo sinistro dell'intervallo. Non avevo fatto questo tipo di considerazione.
Grosso modo mi torna il tuo ragionamento.
Secondo me (se non l'hai fatto) puoi farti due o tre esempi, con funzioni semplici, per "vedere l'effetto che fa".
Secondo me (se non l'hai fatto) puoi farti due o tre esempi, con funzioni semplici, per "vedere l'effetto che fa".
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