Problema di minimizzazione vincolata col metodo di lagrange

[Chiò1]

Salve ragazzi, ho un grossissimo problema nel trovare le soluzioni di questo problema di minimizzazione vincolata. Devo rendere minimo:
$∫ w(p)f(p|e)dp$
tenendo conto del vincolo
$∫ v(w(p))f(p|e)dp - g(e) ≥ u_r$
gli ingredienti che abbiamo sono la funzione w(p)
la densità condizionale f>0
l'utilità dell'individuo u(w,e) = v(w) - g(e) con v’(w) > 0 e v’’(w) ≤ 0
u_r rappresenta un livello base di utilità per l'individuo.
Non ho mai risolto un problema del genere con gli integrali fra i piedi, so che devo risolverlo derivando rispetto a w e che la condizione di primo ordine è
$-f(p|e)+lv'(w(p))f(p|e)=0$
dove l è il moltiplicatore.
Se qualcuno mi spiega come arrivare alla condizione di primo ordine mi farebbe un enorme favore, purtroppo cerco esempi sul net da ore ma non ho trovato spiegazioni, e non avendo mai avuto a che fare con problemi del genere sono un po' disorientato

[Chiò1]

Sbattendoci la testa da giorni riesco a capire la logica che c'è dietro. Derivando una volta rispetto a w(p) ottengo nel primo caso che $D[w(p)f(p|e)]=f(p|e)$ mentre nel secondo mi basta derivare la funzione v che non è esplicitata e tenere tutte le costanti. Non riesco a capire però da dove salti fuori quel meno davanti al primo termine e sopratutto che fine fanno gli integrali. Suggerimenti?