Problema di max/min con Lagrange

[gcappellotto]

Salve a tutti
Devo risolvere il seguente problema utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Massimizzare/minimizzare (se possibile) $f(x,y)=2x+3y$ soggetta al vincolo $sqrt x+sqrt y=5$. (N.B. il vincolo non è differenziabile in alcuni punti).

Soluzione:
\[L=2x+3y-\lambda(\sqrt x+\sqrt y -5)\]
\[f'_x(x,y)=2-\lambda/(2 \sqrt x )=0\]
\[f'_y(x,y)=3-\lambda/(2 \sqrt y )=0\]
Uguaglio rispetto a $\lambda$ e sostituendo in $sqrt x+sqrt y=5$ ottengo $x=9$ $y=4$

*A questo punto dovrei verificare se si tratta di un massimo o di un minimo e dire perchè il vincolo non è differenziabile in alcuni punti.

E' questo * che non riesco a risolvere, gradirei qualche indicazione.
Grazie e saluti.
Giovanni c.

[Demostene92]

Ti faccio notare che l'impostazione della tua Lagrangiana è sbagliata. Infatti in generale è:

$L(\bbx)=f(\bbx)+\sum_{i=1}^n \lambda_i\tildef_i(\bbx)$

Quindi nel tuo caso specifico diventerebbe:

$L(\bbx)=2x+3y+\lambda(sqrt(x)+sqrt(y)-5)$,

da cui:

$(\delL)/(\delx)=2+\lambda/(2sqrt(x))$, $(\delL)/(\dely)=3+\lambda/(2sqrt(y))$, $(\delL)/(\del\lambda)=sqrt(x)+sqrt(y)-5$

e il punto in cui si annullano i differenziali sarebbe $\bbx=(25/4,25/4)$.

[ciampax]

"Demostene92":Ti faccio notare che l'impostazione della tua Lagrangiana è sbagliata. Infatti in generale è:

$L(\bbx)=f(\bbx)+\sum_{i=1}^n \lambda_i\tildef_i(\bbx)$

Quindi nel tuo caso specifico diventerebbe:

$L(\bbx)=2x+3y+\lambda(sqrt(x)+sqrt(y)-5)$,

da cui:

$(\delL)/(\delx)=2+\lambda/(2sqrt(x))$, $(\delL)/(\dely)=3+\lambda/(2sqrt(y))$, $(\delL)/(\del\lambda)=sqrt(x)+sqrt(y)-5$

e il punto in cui si annullano i differenziali sarebbe $\bbx=(25/4,25/4)$.

Basta cambiare i segni davanti a $lambda $ e si ottiene la stessa cosa. Demostene, non dire baggianate! E ti faccio presente che le tue soluzioni del sistema sono errate. Quelle corrette sono $x=9,\ y=2$, con $\lambda=-12$.

Per verificare se il punto è massimo o minimo devi ragionare un po' sui possibili valori della funzione.

Ora, la non differenziabilità del vincolo è abbastanza immediata: essendo presenti delle radici, le derivate parziali sono della forma $1/{2\sqrt{t}}$ dove $t$ rappresenta $x,y$ indifferentemente, e pertanto tale funzione non è derivabile in $(0,0)$ (dove, comunque, risulta definita).

Per capire che tipo di punto hai, io più che usare Lagrange, parametrizzerei il tutto: se poni $\sqrt{x}=5-\sqrt{y}$ allora

$f(y)=2(25-10\sqrt{y}+y)+3y=5y-20\sqrt{y}+50$

da cui $f'(y)=5-{10}/{\sqrt{y}}$. E' facile vedere che tale funzione risulta crescente per $y>4$ e decrescente per $y<4$, pertanto il punto trovato è un minimo.

[Demostene92]

Chiedo venia

[gcappellotto]

Grazie per le indicazioni.
Giovanni C.