Problema di massimo/minimo

[Lely911]

Salve a tutti, purtroppo mi sono accorta che i problemi di massimo e minimo sono il mio tallone d'achille. Ve ne propongo uno di un vecchio compito d'esame e di cui non ho risultato:
i letti di due corsi d'acqua sono rappresentati dalla parabola y=x^2 e dalla retta x-y-2=0. volendo collegare i due corsi d'acqua con un canale rettilineo di lunghezza minima, per quali punti devo farlo passare?
io non so proprio come impostarlo inizialmente.
grazie mille

[rino6999]

io direi che il problema equivale a trovare il punto della parabola (e quindi del tipo $P(x_0,x_0^2)$) che abbia distanza minima dalla retta $x-y-2=0$

[Lely911]

perchè il punto è in quella forma?

[Studente Anonimo]

Perchè un qualsiasi punto appartenente alla parabola di ascissa $x_0$, avrà ordinata $x_0^2$. Di tale punto dovrai calcolare la distanza punto-retta con la nota formula $d(P,r)=|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$. Ovviamente dovrai calcolare la distanza minima. Quindi?

[Lely911]

quindi dovrò fare la derivata della distanza e ponendola uguale a 0 troverò x0 e quindi le coordinate di P. giusto?

[chiaraotta1]

Oppure anche così...
Mi sembra che il punto $P$ cercato sulla parabola sia quello in cui la tangente è parallela alla retta data.
Allora deve essere
$y'(x_P)=2x_P=1->x_P=1/2->y_P=(x_P)^2=1/4$.
Il punto $Q$ sulla retta si può trovare intersecando la normale alla parabola in $P$ con la retta:
${(y-1/4=-(x-1/2)), (y=x-2):}->x_Q=11/8, \ y_Q=-5/8$.