Problema di massimo in due variabili, da decifrare
Buonasera a tutti! Chiedo un aiuto per decifrare e capire questo problema, perché mi sta dando non poche perplessità, sia per come è scritto sia per quello che esattamente mi si chiede (forse la richiesta è troppo sottile e io non la so capire).
Ho il seguente problema:
$$\max_{x, y} f(x, y) = xy$$
soggetto alle condizioni
$$\begin{cases} x + y \leq 2 \\ x + 2y \leq b \\ x, y > 0 \end{cases}$$
Mi viene chiesto se il problema abbia soluzioni per $b = 2$ e quali siano, e se ne abbia per $b = 3$ e perché.
La mia perplessità innanzitutto sta nel come è definita la funzione: non ho $f(x, y) = xy$ ma ho il MAX di $f(x, y)$ definito come $xy$, e questo già mi ha messo in crisi!
Quello che ho fatto è stato disegnare la regione indicata, ossia $(x, y) > 0$ con $x+y \leq 2$, che rappresenta un triangolo nel primo quadrante del piano cartesiano.
Ho poi provato a vedere cosa succede per $b = 2$ e $b = 3$ in termini di disegno, diciamo così, e ho visto che $b = 2$ è un "sottotriangolo" nel senso che sta dentro a quello iniziale, mentre per $b = 3$ si ha una regione triangolare che un po' è dentro e un po' è fuori rispetto al triangolo $x+y \leq 2$.
Questi insiemi sono compatti, quindi chiusi e limitati. Non so se Weierstrass potrebbe essere utile dal momento che il problema chiede se ci siano soluzioni per $b = 2$ e $3$ e quali siano.
Vi giuro che ci ho pensato tantissimo, ma non riesco principalmente a decifrare cosa voglia dire con max $f(x, y) = xy$.
Per il resto FORSE potrei pensare che per qualche ragione a me non chiara (pura idea), per $b = 2$ si abbiano soluzioni, mentre per $b =3$ no. Ma devo ovviamente giustificare...
Grazie a tutti!
Ho il seguente problema:
$$\max_{x, y} f(x, y) = xy$$
soggetto alle condizioni
$$\begin{cases} x + y \leq 2 \\ x + 2y \leq b \\ x, y > 0 \end{cases}$$
Mi viene chiesto se il problema abbia soluzioni per $b = 2$ e quali siano, e se ne abbia per $b = 3$ e perché.
La mia perplessità innanzitutto sta nel come è definita la funzione: non ho $f(x, y) = xy$ ma ho il MAX di $f(x, y)$ definito come $xy$, e questo già mi ha messo in crisi!
Quello che ho fatto è stato disegnare la regione indicata, ossia $(x, y) > 0$ con $x+y \leq 2$, che rappresenta un triangolo nel primo quadrante del piano cartesiano.
Ho poi provato a vedere cosa succede per $b = 2$ e $b = 3$ in termini di disegno, diciamo così, e ho visto che $b = 2$ è un "sottotriangolo" nel senso che sta dentro a quello iniziale, mentre per $b = 3$ si ha una regione triangolare che un po' è dentro e un po' è fuori rispetto al triangolo $x+y \leq 2$.
Questi insiemi sono compatti, quindi chiusi e limitati. Non so se Weierstrass potrebbe essere utile dal momento che il problema chiede se ci siano soluzioni per $b = 2$ e $3$ e quali siano.
Vi giuro che ci ho pensato tantissimo, ma non riesco principalmente a decifrare cosa voglia dire con max $f(x, y) = xy$.
Per il resto FORSE potrei pensare che per qualche ragione a me non chiara (pura idea), per $b = 2$ si abbiano soluzioni, mentre per $b =3$ no. Ma devo ovviamente giustificare...
Grazie a tutti!
Risposte
Secondo me e' il classico problema di trovare il punto massimo.
Scritta cosi' con il "max" non ha molto senso.
Scritta cosi' con il "max" non ha molto senso.
Quindi anche per te è strano scritto così? Se forsse $f(x, y) = xy$ avrebbe sicuramente più senso... Potrebbe essere un errore di scrittura? (Sono note del mio prof)
Si, non ha molto senso scritto cosi'.
Ciao GoldenRatio,
Innanzitutto concordo con Quinzio, in realtà si tratta di trovare il massimo della funzione $f(x, y) = x y $ nella regione assegnata. Comincerei con l'osservare che siamo nel primo quadrante ($x > 0$ e $y > 0 $) assi cartesiani esclusi, che il dominio naturale della funzione $xy$ è $D = \RR^2 $ e che in generale si ha:
$(x - y)^2 \ge 0 \implies xy \le (x^2 + y^2)/2 $
Poi hai ragione per Weierstrass, quindi il massimo si trova sulla frontiera dei domini specificati, e siccome i due assi cartesiani $x$ e $y$ sono esclusi, ovviamente si trovano sulle rette:
Innanzitutto concordo con Quinzio, in realtà si tratta di trovare il massimo della funzione $f(x, y) = x y $ nella regione assegnata. Comincerei con l'osservare che siamo nel primo quadrante ($x > 0$ e $y > 0 $) assi cartesiani esclusi, che il dominio naturale della funzione $xy$ è $D = \RR^2 $ e che in generale si ha:
$(x - y)^2 \ge 0 \implies xy \le (x^2 + y^2)/2 $
Poi hai ragione per Weierstrass, quindi il massimo si trova sulla frontiera dei domini specificati, e siccome i due assi cartesiani $x$ e $y$ sono esclusi, ovviamente si trovano sulle rette:
- per $b = 2 $ si ha $\{(x + y \le 2),(x + 2y = 2):} $ e si trova il punto di massimo $M(1, 1/2) $;
per $b = 3 $ si ha $\{(x + y = 2),(x + 2y = 3):} $ e si trova il punto di massimo $M'(1, 1) $
[/list:u:37oy7afu]
Si è già discusso di un problema simile anche in questo thread.
Ciao @pilloeffe
Nel calcolo per $b = 3$ quando restringo $f$ sulla frontiera, la quale è, nel segmento obliquo, data da $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x$, ottengo
$$f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}x^2$$
E quindi $f'(x) = \frac{3}{2}-x$ che si annulla se $x = 3/2$.
Questo implica $y = 3/4$, ma il punto $p = (3/2, 3/4)$ non appartiene all'insieme iniziale, nel senso che non rispetta il vincolo $x + y \leq 2$ (infatti $3/2 + 3/4 = 9/4 > 2$).
Allora per $b = 3$ il probema NON ha soluzione. O sbaglio?
Nel calcolo per $b = 3$ quando restringo $f$ sulla frontiera, la quale è, nel segmento obliquo, data da $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x$, ottengo
$$f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}x^2$$
E quindi $f'(x) = \frac{3}{2}-x$ che si annulla se $x = 3/2$.
Questo implica $y = 3/4$, ma il punto $p = (3/2, 3/4)$ non appartiene all'insieme iniziale, nel senso che non rispetta il vincolo $x + y \leq 2$ (infatti $3/2 + 3/4 = 9/4 > 2$).
Allora per $b = 3$ il probema NON ha soluzione. O sbaglio?
Perché?
A me pare che $M'(1, 1) $ sia un punto che soddisfi le due rette e risulti $z_{M'} = f(1, 1) = 1 \times 1 = 1 $
A me pare che $M'(1, 1) $ sia un punto che soddisfi le due rette e risulti $z_{M'} = f(1, 1) = 1 \times 1 = 1 $
@pilloeffe
Hai ragione, quel punto è in comune con il primo vincolo, quindi appartiene e risolve il problema!
Però mi confermi che ho ragione sul punto che ho trovato? Non appartiene e si butta via?
Hai ragione, quel punto è in comune con il primo vincolo, quindi appartiene e risolve il problema!
Però mi confermi che ho ragione sul punto che ho trovato? Non appartiene e si butta via?
"GoldenRatio":
Però mi confermi che ho ragione sul punto che ho trovato? Non appartiene e si butta via?
Sì, confermo.
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