Problema di massimizzazione
\[\Pi^{c} =u_{1}\left [ \frac{1+a-b}{2}+\frac{\rho \left ( u_{2}^{\mu } -u_{1}^{\mu }\right )}{2(1-a-b)} \right ]+u_{2}\left [ \frac{1-a+b}{2}+\frac{\rho \left ( u_{1}^{\mu } -u_{2}^{\mu }\right )}{2(1-a-b)} \right ]\]
\[\frac{\delta \Pi ^{c}}{\delta u_{1}}=\frac{1+a-b}{2}+\frac{\rho \left ( u_{2}^{\mu } -u_{1}^{\mu }\right )}{2(1-a-b)}-\frac{\rho \mu u_{1}^{\mu }}{2(1-a-b)}+\frac{\rho \mu u_{2}u_{1}^{\mu -1}}{2(1-a-b)}=0\]
\[\frac{\delta \Pi ^{c}}{\delta u_{2}}=\frac{1-a+b}{2}+\frac{\rho \left ( u_{1}^{\mu } -u_{2}^{\mu }\right )}{2(1-a-b)}-\frac{\rho \mu u_{2}^{\mu }}{2(1-a-b)}+\frac{\rho \mu u_{1}u_{2}^{\mu -1}}{2(1-a-b)}=0\]
Ciao a tutti, ho bisogno di un vostro aiuto per risolvere questo problema.
Dalla massimizzazione della prima espressione ottengo questo sistema. Secondo voi le derivate sono giuste? E poi come mi consigliate di risolvere il sistema? u1 e u2 sono le incognite il resto sono costanti.
Grazie per le risposte
\[\frac{\delta \Pi ^{c}}{\delta u_{1}}=\frac{1+a-b}{2}+\frac{\rho \left ( u_{2}^{\mu } -u_{1}^{\mu }\right )}{2(1-a-b)}-\frac{\rho \mu u_{1}^{\mu }}{2(1-a-b)}+\frac{\rho \mu u_{2}u_{1}^{\mu -1}}{2(1-a-b)}=0\]
\[\frac{\delta \Pi ^{c}}{\delta u_{2}}=\frac{1-a+b}{2}+\frac{\rho \left ( u_{1}^{\mu } -u_{2}^{\mu }\right )}{2(1-a-b)}-\frac{\rho \mu u_{2}^{\mu }}{2(1-a-b)}+\frac{\rho \mu u_{1}u_{2}^{\mu -1}}{2(1-a-b)}=0\]
Ciao a tutti, ho bisogno di un vostro aiuto per risolvere questo problema.
Dalla massimizzazione della prima espressione ottengo questo sistema. Secondo voi le derivate sono giuste? E poi come mi consigliate di risolvere il sistema? u1 e u2 sono le incognite il resto sono costanti.
Grazie per le risposte
Risposte
Intanto ti dico che le derivate mi sembrano giuste. Per risolvere il sistema ci penso un po'.
Sembra scontato partire con una sottrazione membro a membro delle due equazioni, ma non ho ottenuto comunque nulla di buono.
Sembra scontato partire con una sottrazione membro a membro delle due equazioni, ma non ho ottenuto comunque nulla di buono.
Grazie per la risposta. Ci provo!
Non riesco a trovare soluzione. Qualche altro aiutino?
Ad avercelo!
Sei sicuro che si possa trovare analiticamente? Da dove ti salta fuori questa espressione?
Sei sicuro che si possa trovare analiticamente? Da dove ti salta fuori questa espressione?
No, non sono per niente sicuro. È un caso di collusione che estende il problema originale di massimizzazione del profitto individuale.
Non è il mio settore, comunque questo non conta molto.
Allora se ti serve una soluzione numerica esistono programmi fatti apposta.
Se invece ti serve una soluzione letterale, è possibile che abbia qualche condizione sui coefficienti? (Del tipo $mu < < 1$ oppure $mu sim 1$, $u_1 < < u_2$, ecc.)
Allora se ti serve una soluzione numerica esistono programmi fatti apposta.
Se invece ti serve una soluzione letterale, è possibile che abbia qualche condizione sui coefficienti? (Del tipo $mu < < 1$ oppure $mu sim 1$, $u_1 < < u_2$, ecc.)
L'unica condizione è \[\mu \geq 1\], niente per le incognite. Mi servirebbe una soluzione letterale, comunque che programmi si può usare per risolverlo?
Non conosco granché perché non mi sono serviti a molto finora.
Se hai Matlab so che si usa la funzione fminsearch; mai provata, ma dovrebbe funzionare bene.
Qua http://www.dmsa.unipd.it/~zilli/ottimo0.pdf spiega vari metodi, e magari da qualche parte suggerisce dove trovare programmi.
In alternativa se conoscessi un linguaggio di programmazione, potrei suggerirti di scriverne uno a mano, bastano poche righe.
In ogni caso si tratta di programmi che funzionano con numeri, non fanno calcolo letterale, quindi probabilmente non ti servono.
P.s.: $mu$ è intero o reale qualsiasi?
Se hai Matlab so che si usa la funzione fminsearch; mai provata, ma dovrebbe funzionare bene.
Qua http://www.dmsa.unipd.it/~zilli/ottimo0.pdf spiega vari metodi, e magari da qualche parte suggerisce dove trovare programmi.
In alternativa se conoscessi un linguaggio di programmazione, potrei suggerirti di scriverne uno a mano, bastano poche righe.
In ogni caso si tratta di programmi che funzionano con numeri, non fanno calcolo letterale, quindi probabilmente non ti servono.
P.s.: $mu$ è intero o reale qualsiasi?
$mu$ è reale,
grazie mille, do un occhiata a quei metodi.
grazie mille, do un occhiata a quei metodi.
Ah mi sono scordato che $0\leq a\leq 1$ e $0\leq b\leq 1$
Condizioni sulle incognite? Magari la loro somma o la loro differenza, o possono assumere solo valori tra 0 e 1...
Eh no per le incognite niente. A parte $u_{i}> 0$
Mah, ho provato qualche ragionamento, ma mi sembrano non conclusivi.
L'unica cosa che farei io al posto tuo è cominciare a provare con $mu=1$ e con $mu=2$ che sembrano fattibili. Poi vedere se si riesce con qualche altro numero. Queste soluzioni potrebbero aiutare a capire cosa succede in generale.
L'unica cosa che farei io al posto tuo è cominciare a provare con $mu=1$ e con $mu=2$ che sembrano fattibili. Poi vedere se si riesce con qualche altro numero. Queste soluzioni potrebbero aiutare a capire cosa succede in generale.
Beh, senza vincoli è del tutto inutile massimizzare, perché l'estremo superiore della funzione \(\Pi\) nella regione \(]0,\infty[ \times ]0,\infty[\) è \(+\infty\).
Infatti, prendendo \(u_2=u_1\) si ha \(\Pi(u_1,u_1) = u_1\) e basta prendere \(u_1\to \infty\) per vedere che \(\Pi (u_1,u_1)\to \infty\).
Infatti, prendendo \(u_2=u_1\) si ha \(\Pi(u_1,u_1) = u_1\) e basta prendere \(u_1\to \infty\) per vedere che \(\Pi (u_1,u_1)\to \infty\).
Comunque le due incognite possono essere anche l'una funzione dell'altra. Ma non riesco lo stesso ad arrivarci.
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