Problema di massimi e minimi vincolati.
Esercizio Determinare il massimo e minimo assoluto di $f(x,y)=(x-1)(x^2-2x+y^2)$ in $E:= { (x,y) \in RR^2 | x>=0 , y>=0, x+y<=2}$.
Innanzi tutto osservo che $f$ è continua, $E$ un compatto perché si tratta del triangolo "chiuso" di vertici $(0,0) , (2,0),(0,2)$. Quindi $f(E)\sube RR$ sarà un compatto, dunque chiuso e limitato. Cioè $f$ avrà effettivamente un massimo e minimo assoluto in $E$.
Facendo un po' di conti ottengo i punti critici di $f$ che sono $P_1(1+1/(sqrt(3)),0) , P_2(1-1/\sqrt(3),0) , P_3(1,-1), P_4(1,1)$
Solo il primo e l'ultimo stanno in $E$ e quindi "degni di nota". Studiando l'Hessiana del primo ottengo :
$A_1:=H(P_1)=((6/(sqrt(3)),0),(0,2/sqrt(3)))$, definita positiva ché $detA_1>0 , a_11>0$ quindi è un punto di minimo relativo.
Analogo discorso per l'ultimo punto che scopro essere di sella.
Ora, se ho ben capito, il problema sta nel chiedersi cosa accade sulla frontiera di $E$; in paricolare si considerano i tre vincoli
$F_1(x,y)=x , F_2(x,y)=y, F_3(x,y)=x+y-2$.
e considerare la Lagrangiana
$ \mathfrak{L}(x,y,\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3)=f(x,y)-\lambda_1 *x -\lambda_2*y-\lambda_3(x+y-2)$
e di essa ricercarne i punti critici.. ma stranamente, in questo caso, non ve ne sono.
Non riesco a capire se ho mal interpretato $E$ o pecco in qualche punto nella risoluzione del problema. :/
Qualcuno che mi aiuti a far luce?
Grazie mille.
Innanzi tutto osservo che $f$ è continua, $E$ un compatto perché si tratta del triangolo "chiuso" di vertici $(0,0) , (2,0),(0,2)$. Quindi $f(E)\sube RR$ sarà un compatto, dunque chiuso e limitato. Cioè $f$ avrà effettivamente un massimo e minimo assoluto in $E$.
Facendo un po' di conti ottengo i punti critici di $f$ che sono $P_1(1+1/(sqrt(3)),0) , P_2(1-1/\sqrt(3),0) , P_3(1,-1), P_4(1,1)$
Solo il primo e l'ultimo stanno in $E$ e quindi "degni di nota". Studiando l'Hessiana del primo ottengo :
$A_1:=H(P_1)=((6/(sqrt(3)),0),(0,2/sqrt(3)))$, definita positiva ché $detA_1>0 , a_11>0$ quindi è un punto di minimo relativo.
Analogo discorso per l'ultimo punto che scopro essere di sella.
Ora, se ho ben capito, il problema sta nel chiedersi cosa accade sulla frontiera di $E$; in paricolare si considerano i tre vincoli
$F_1(x,y)=x , F_2(x,y)=y, F_3(x,y)=x+y-2$.
e considerare la Lagrangiana
$ \mathfrak{L}(x,y,\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3)=f(x,y)-\lambda_1 *x -\lambda_2*y-\lambda_3(x+y-2)$
e di essa ricercarne i punti critici.. ma stranamente, in questo caso, non ve ne sono.
Non riesco a capire se ho mal interpretato $E$ o pecco in qualche punto nella risoluzione del problema. :/
Qualcuno che mi aiuti a far luce?
Grazie mille.
Risposte
eh no, la lagrangiana non si applica in questo modo ,ma la devi applicare ad un singolo tratto di curva
quindi in totale hai tre lagrangiane
per ognuna hai almeno un punto di massimo e minimo assoluto
alla fine per confronto trovi il massimo dei massimi ed il minimo dei minimi
quindi in totale hai tre lagrangiane
per ognuna hai almeno un punto di massimo e minimo assoluto
alla fine per confronto trovi il massimo dei massimi ed il minimo dei minimi
Ciao stormy.. in effetti ho un po' di confusione, senza togliere che questa parte è stata fatta un po' all'acqua di rose da noi.
Dunque, se ho ben capito, bisogna usare la Lagrangiana per ogni vincolo, dico bene?
Grazie, ho le idee un po' più chiare.
Dunque, se ho ben capito, bisogna usare la Lagrangiana per ogni vincolo, dico bene?
Grazie, ho le idee un po' più chiare.
"Kashaman":
Dunque, se ho ben capito, bisogna usare la Lagrangiana per ogni vincolo, dico bene?
forse è più corretto dire "per ogni tratto di curva che abbia un equazione diversa dagli altri"
ma penso che tu intendessi questo
Esatto. Grazie.
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