Problema di interpretazione nel libro di Analisi
Ciao a tutti! 
Sono andato a rispolverare alcune vecchie nozioni di Analisi Matematica, e mi sono accorto di una cosa di cui, quando diedi l'esame, evidentemente non mi ero accorto. Il problema sta nell'interpretazione che devo dare a due punti dei libri di Analisi di Bramanti-Pagani-Salsa.
Volume 2, capitolo 8, paragrafo 1: commentando il teorema di Peano, esistenza di una soluzione per le equazioni differenziali, viene affermato:
A sostegno dell'ultima frase, una nota rimanda al primo volume, capitolo 6, paragrafo 4:
Ora, queste frasi dette così sembrano essere espresse con un valore universale, ossia che tutte le funzioni con discontinuità a salto non possono essere integrabili. Io però mi ricordavo diversamente, che cioè una funzione con discontinuità a salto può benissimo essere integrabile, ed è affermato anche in altri punti dello stesso libro. Sembra evidente che sono più arrugginito di quanto credessi, dove sto sbagliando?
Sono andato a rispolverare alcune vecchie nozioni di Analisi Matematica, e mi sono accorto di una cosa di cui, quando diedi l'esame, evidentemente non mi ero accorto. Il problema sta nell'interpretazione che devo dare a due punti dei libri di Analisi di Bramanti-Pagani-Salsa.
Volume 2, capitolo 8, paragrafo 1: commentando il teorema di Peano, esistenza di una soluzione per le equazioni differenziali, viene affermato:
Che la continuità di $f$ sia una richiesta naturale [per il teorema], si vede osservando la semplice equazione
$y'=f(t)$,
le cui soluzioni sono le primitive di $f$; sappiamo che se $f$ ha, per esempio, una discontinuità a salto, non ammette alcuna primitiva.
A sostegno dell'ultima frase, una nota rimanda al primo volume, capitolo 6, paragrafo 4:
Tutte le funzioni possiedono una primitiva? Non tutte; si può mostrare che se una funzione presenta punti di discontinuità a salto in un intervallo [a,b] allora non può avere primitiva.
Ora, queste frasi dette così sembrano essere espresse con un valore universale, ossia che tutte le funzioni con discontinuità a salto non possono essere integrabili. Io però mi ricordavo diversamente, che cioè una funzione con discontinuità a salto può benissimo essere integrabile, ed è affermato anche in altri punti dello stesso libro. Sembra evidente che sono più arrugginito di quanto credessi, dove sto sbagliando?
Risposte
Stai mischiando due concetti indipendenti.
Il fatto che una funzione \(f\) sia integrabile in un intervallo \([a,b]\) significa che la quantità \(\int_a^b f(x) dx\), il cui valore è calcolabile come prescritto dalla definizione del simbolo di integrale, esiste finita.
Il fatto che una funzione \(f\) ammetta primitiva in un intervallo \([a,b]\) significa che esiste una funzione \(F\) derivabile che soddisfa \(F'(x) = f(x)\) in \([a,b]\) e cioè che in ogni punto \(x\) di \([a,b]\) la quantità \(F'(x)\), il cui valore è calcolabile come prescritto dalla definizione di derivata in un punto, coincide col valore \(f(x)\).
Come vedi, le primitive stanno nel capitolo delle derivate, l'integrabilità sta nel capitolo degli integrali.
Il fatto che una funzione \(f\) sia integrabile in un intervallo \([a,b]\) significa che la quantità \(\int_a^b f(x) dx\), il cui valore è calcolabile come prescritto dalla definizione del simbolo di integrale, esiste finita.
Il fatto che una funzione \(f\) ammetta primitiva in un intervallo \([a,b]\) significa che esiste una funzione \(F\) derivabile che soddisfa \(F'(x) = f(x)\) in \([a,b]\) e cioè che in ogni punto \(x\) di \([a,b]\) la quantità \(F'(x)\), il cui valore è calcolabile come prescritto dalla definizione di derivata in un punto, coincide col valore \(f(x)\).
Come vedi, le primitive stanno nel capitolo delle derivate, l'integrabilità sta nel capitolo degli integrali.
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