Problema di integrazioni
Ciao a tutti ho un problema a calcolare quest'integrale dove x e la variabile d'integrazione mentre $\lambda$ e $k$ sono due parametri:
[tex]$\int_0^u \frac{k}{\lambda^k} x^k e^{(-\frac{x}{\lambda})^k} dx$[/tex]
Ho fatto un po' di tentativi ma non ho trovato una soluzione analitica soddisfacente. Come si può fare?
[tex]$\int_0^u \frac{k}{\lambda^k} x^k e^{(-\frac{x}{\lambda})^k} dx$[/tex]
Ho fatto un po' di tentativi ma non ho trovato una soluzione analitica soddisfacente. Come si può fare?
Risposte
Hai provato sostituendo $-x/\lambda=t$?
Ho provato alcune sostituzioni, non questa. Provo ora:
$-\frac{x}{\lambda} = t$ per cui $x =- t \lambda$ e $dx = - \lambda dt$
sostituendo (ignorando momentaneamente gli estremi d'integrazione) ottengo:
$\int \frac{k}{\lambda^k} (- t \lambda)^k e^{(t)^k} (- \lambda) dt$
da cui ricavo:
[tex]$(-1)^{(k+1)} \lambda \int k t^k e^{t^k}\ dt$[/tex]
ma sono di nuovo bloccato...
Edit corretto un errore gentilmente segnalato da ciampax
$-\frac{x}{\lambda} = t$ per cui $x =- t \lambda$ e $dx = - \lambda dt$
sostituendo (ignorando momentaneamente gli estremi d'integrazione) ottengo:
$\int \frac{k}{\lambda^k} (- t \lambda)^k e^{(t)^k} (- \lambda) dt$
da cui ricavo:
[tex]$(-1)^{(k+1)} \lambda \int k t^k e^{t^k}\ dt$[/tex]
ma sono di nuovo bloccato...
Edit corretto un errore gentilmente segnalato da ciampax
Calmo, stai commettendo un paio di errori. Fino al calcolo con le sostituzioni ti trovi. Per gli estremi, ottieni $x=0\to t=0$ e $x=u\to t=-u/\lambda$. Allora si ha
[tex]$\int_{0}^{-u/\lambda}\frac{k}{\lambda^k}(-\lambda t)^k \cdot e^{t^k}\cdot (-\lambda)\ dt=(-1)^{k+1}\lambda\int_0^{-u/\lambda}k t^k e^{t^k}\ dt$[/tex]
Ora usa questa sostituzione [tex]$t^k=z$[/tex] e vedi cosa ottieni.
[tex]$\int_{0}^{-u/\lambda}\frac{k}{\lambda^k}(-\lambda t)^k \cdot e^{t^k}\cdot (-\lambda)\ dt=(-1)^{k+1}\lambda\int_0^{-u/\lambda}k t^k e^{t^k}\ dt$[/tex]
Ora usa questa sostituzione [tex]$t^k=z$[/tex] e vedi cosa ottieni.
Ok ho corretto. Allora ho provato a sostituire e ad integrare per parti. Ricapitolo:
Livello 0:
[tex]$\int_0^u \frac{k}{\lambda^k} x^k e^{(-\frac{x}{\lambda})^k} dx$[/tex]
Livello 1 [sostituzione] [tex]$-\frac{x}{\lambda} = t$[/tex] per cui [tex]$x =- t \lambda$[/tex] e [tex]$dx = - \lambda dt$[/tex]. Ottengo quanto segue:
[tex]$(-1)^{(k+1)} \lambda \int k \, t^k e^{t^k} dt$[/tex]
Livello 2 [sostituzione] [tex]$t^k=z$[/tex] per cui [tex]$t=z^{\frac{1}{k}}$[/tex] e [tex]$dt=\frac{1}{k} z^{\frac{1}{k}-1}dz$[/tex]. Ricalcolo l'integrale qui di seguito:
[tex]$(-1)^{(k+1)} \lambda \int k \, z \, e^{z} \frac{1}{k} z^{\frac{1}{k}-1}dz = (-1)^{(k+1)} \lambda \int z^{\frac{1}{k}} \, e^{z} dz$[/tex]
giunti qui ho provato per parti ma non viene niente di buono...
Livello 0:
[tex]$\int_0^u \frac{k}{\lambda^k} x^k e^{(-\frac{x}{\lambda})^k} dx$[/tex]
Livello 1 [sostituzione] [tex]$-\frac{x}{\lambda} = t$[/tex] per cui [tex]$x =- t \lambda$[/tex] e [tex]$dx = - \lambda dt$[/tex]. Ottengo quanto segue:
[tex]$(-1)^{(k+1)} \lambda \int k \, t^k e^{t^k} dt$[/tex]
Livello 2 [sostituzione] [tex]$t^k=z$[/tex] per cui [tex]$t=z^{\frac{1}{k}}$[/tex] e [tex]$dt=\frac{1}{k} z^{\frac{1}{k}-1}dz$[/tex]. Ricalcolo l'integrale qui di seguito:
[tex]$(-1)^{(k+1)} \lambda \int k \, z \, e^{z} \frac{1}{k} z^{\frac{1}{k}-1}dz = (-1)^{(k+1)} \lambda \int z^{\frac{1}{k}} \, e^{z} dz$[/tex]
giunti qui ho provato per parti ma non viene niente di buono...
...non so se mi sono perso in un bicchier d'acqua o se la situazione è proprio complessa...
Riguardando questo integrale mi rendo conto che effettivamente non è semplice da calcolare con i metodi di integrazione standard. proverei a farlo per serie, ma non so quanto tu ne sappia al riguardo e soprattutto dove porterebbe un simile calcolo.
Sticavoli, no per serie non saprei come fare...Quindi mi rimane solo un metodo numerico per calcolarlo? 
Una domanda che mi è sorta: ma questo integrale da dove viene fuori? Perché saperlo potrebbe aiutare.
E' l'integrale della p.d.f. di Weibull, [tex]$p(x)$[/tex], moltiplicata per [tex]$x$[/tex]. Ovvero:
[tex]$\int_0^u x \, \, p(x) \, dx$[/tex]
[tex]$\int_0^u x \, \, p(x) \, dx$[/tex]
Ah, ecco... mi pareva che saltasse fuori una funzione Gamma di Eulero! http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Weibull
Ok, perfetto (mi sono anche accorto di aver scritto male la p.d.f. per quel [tex]$-1$[/tex] che in realtà sta fuori dall'elevamento a [tex]$k$[/tex] dell'esponente 
). Correggo qui:
Tornando al problema io sostituirei [tex]$t = \Bigl(\frac{x}{\lambda}\Bigr)^k$[/tex] per cui [tex]$x = u \to t = \Bigl(\frac{u}{\lambda}\Bigr)^k$[/tex]
[tex]$\int_0^u \frac{k}{\lambda^k} x^k e^{-(\frac{x}{\lambda})^k} dx = \int_0^{(u / \lambda)^k}\lambda \, t^\frac{1}{k} \, e^{-t}dt = \lambda \cdot \gamma\Bigl(1 + \frac{1}{k}, \frac{u^k}{\lambda^k} \Bigr) $[/tex]
Dove con [tex]$\gamma()$[/tex] indico la funzione Gamma di Eulero Incompleta Inferiore:
[tex]$\gamma(\alpha,x) = \int_0^x t^{\alpha-1}e^{-t}dt$[/tex]
Che ne dici?
). Correggo qui:Tornando al problema io sostituirei [tex]$t = \Bigl(\frac{x}{\lambda}\Bigr)^k$[/tex] per cui [tex]$x = u \to t = \Bigl(\frac{u}{\lambda}\Bigr)^k$[/tex]
[tex]$\int_0^u \frac{k}{\lambda^k} x^k e^{-(\frac{x}{\lambda})^k} dx = \int_0^{(u / \lambda)^k}\lambda \, t^\frac{1}{k} \, e^{-t}dt = \lambda \cdot \gamma\Bigl(1 + \frac{1}{k}, \frac{u^k}{\lambda^k} \Bigr) $[/tex]
Dove con [tex]$\gamma()$[/tex] indico la funzione Gamma di Eulero Incompleta Inferiore:
[tex]$\gamma(\alpha,x) = \int_0^x t^{\alpha-1}e^{-t}dt$[/tex]
Che ne dici?
Che mi sembra corretto! 
...E vai!!! 
Grazie mille ancora per l'aiuto ed alla prossima!
Grazie mille ancora per l'aiuto ed alla prossima!
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