Problema di Dirichlet
Siano $a\neb\inRR$. Mostrare che l'equazione $\Deltau=0$ in $B_1-{0}$ con condizioni al
contorno $u(0)=a$ e $u|_{S_1}=b$ non ha soluzione
contorno $u(0)=a$ e $u|_{S_1}=b$ non ha soluzione
Risposte
l'esercizio consiste nel decifrare le notazioni di ubermensch?
secondo me nel suo mondo $B_1$ è la palla di centro l'origine e raggio $1$ in un qualche $RR^n$
e $S_1$ è la sua superficie
secondo me nel suo mondo $B_1$ è la palla di centro l'origine e raggio $1$ in un qualche $RR^n$
e $S_1$ è la sua superficie
in accordo con le notazioni internazionali... fortunatamente il linguaggio della matematica è universale...
sono comunque d'accordo che potevo precisarlo...
sono comunque d'accordo che potevo precisarlo...
notazioni internazionali? bu!
così, tanto per provare, ho messo "dirichlet problem" in Google e mi è venuto fuori, come primo sito:
http://mathworld.wolfram.com/DirichletProblem.html
lì usano $D(0,1)$ e $\partial D(0,1)$
ma che vuoi, non sono mai usciti dal paesello...
così, tanto per provare, ho messo "dirichlet problem" in Google e mi è venuto fuori, come primo sito:
http://mathworld.wolfram.com/DirichletProblem.html
lì usano $D(0,1)$ e $\partial D(0,1)$
ma che vuoi, non sono mai usciti dal paesello...
S1 è la superficie della palla B1? se così fosse non la vedrei impossibile (anche se metto le mani avanti data la mia minima conoscenza delle funzioni armoniche).
anzi, brutalmente $phi(r)=a+(b-a)r$ è armonica, vale a per r=0 e b per r=1.
sicuramente avrò perso qualcosa!
anzi, brutalmente $phi(r)=a+(b-a)r$ è armonica, vale a per r=0 e b per r=1.
sicuramente avrò perso qualcosa!
@fioravante
La soluzione che mi hai linkato si riferisce al caso $N=2$ in cui sovente
si usa il temine "disco" al posto di "palla"...
non metto in dubbio però che la mia notazione sia l'unica usata, ma sicuramente è
fra le più usate. Tanto usata che, chi sa cosa è una funzione armonica, un problema
di Dirichlet... sa anche cosa significano quei simboli.
@wedge:
quella funzione non mi pare armonica per $N\geq2$. Prendiamo il caso $N=2$
Invece di fare tante conti, prendi la funzione $\phi(r)=a+(b-a)(r-1)$ nella corona
$B_2-B_1$. In base a quanto dici è l'unica soluzione del problema $\Delta=0$ nella corona e
$\phi|_{S_1}=a$ e $\phi|_{S_2}=b$.
Esercizio: mostrare che esistono costanti $c,d$ tali che $clg(r)+d$ è soluzione dello stesso
problema.
Per cui l'assurdo, che, se quella funzione fosse armonica, avremmo due soluzioni diverse
per il problema
La soluzione che mi hai linkato si riferisce al caso $N=2$ in cui sovente
si usa il temine "disco" al posto di "palla"...
non metto in dubbio però che la mia notazione sia l'unica usata, ma sicuramente è
fra le più usate. Tanto usata che, chi sa cosa è una funzione armonica, un problema
di Dirichlet... sa anche cosa significano quei simboli.
@wedge:
quella funzione non mi pare armonica per $N\geq2$. Prendiamo il caso $N=2$
Invece di fare tante conti, prendi la funzione $\phi(r)=a+(b-a)(r-1)$ nella corona
$B_2-B_1$. In base a quanto dici è l'unica soluzione del problema $\Delta=0$ nella corona e
$\phi|_{S_1}=a$ e $\phi|_{S_2}=b$.
Esercizio: mostrare che esistono costanti $c,d$ tali che $clg(r)+d$ è soluzione dello stesso
problema.
Per cui l'assurdo, che, se quella funzione fosse armonica, avremmo due soluzioni diverse
per il problema
non capisco bene il senso del problema...
la condizione laplaciano uguale a zero è una condizione locale, quindi la funzione $u$ potrebbe benissimo non essere continua nell'origine... a questo punto basta trovare una $u$ armonica costante sul bordo (tipo il potenziale dovuto ad una carica puntiforme nell'origine) e poi fissare $a$ come valore nell'origine...
a meno che non si richiedano implicitamente delle altre condizioni...
la condizione laplaciano uguale a zero è una condizione locale, quindi la funzione $u$ potrebbe benissimo non essere continua nell'origine... a questo punto basta trovare una $u$ armonica costante sul bordo (tipo il potenziale dovuto ad una carica puntiforme nell'origine) e poi fissare $a$ come valore nell'origine...
a meno che non si richiedano implicitamente delle altre condizioni...
C'è un teorema che afferma che:
Sia $x_0 \in \Omega$, $u \in C^2(\Omega\\{x_0})$ armonica e limitata.
Allora: esiste $\bar u \in C^2(\Omega)$ armonica con $\bar u = u$ su $\Omega\\{x_0}$.
A questo punto, supponiamo che esista una soluzione $u$ al tuo problema; questa sarebbe quindi armonica e limitata su $B_1 \\ {0}$, dunque esisterebbe $\bar u$ armonico su $B_1$ con $\bar u = b$ su $S_1$ e $\bar u=a$ in $0$.
Ma questo non è possibile, perché vorrebbe dire che il max o il min di $\bar u$ è contenuto nell'interiore di $B_1$, il che significherebbe che $\bar u$ costante...ma non è il caso.
Forse ho tralasciato un po' di dettagli, però avevo già visto qualcosa di simile, quindi non dovrebbe essere tutto sbagliato, no?!
Sia $x_0 \in \Omega$, $u \in C^2(\Omega\\{x_0})$ armonica e limitata.
Allora: esiste $\bar u \in C^2(\Omega)$ armonica con $\bar u = u$ su $\Omega\\{x_0}$.
A questo punto, supponiamo che esista una soluzione $u$ al tuo problema; questa sarebbe quindi armonica e limitata su $B_1 \\ {0}$, dunque esisterebbe $\bar u$ armonico su $B_1$ con $\bar u = b$ su $S_1$ e $\bar u=a$ in $0$.
Ma questo non è possibile, perché vorrebbe dire che il max o il min di $\bar u$ è contenuto nell'interiore di $B_1$, il che significherebbe che $\bar u$ costante...ma non è il caso.
Forse ho tralasciato un po' di dettagli, però avevo già visto qualcosa di simile, quindi non dovrebbe essere tutto sbagliato, no?!
@thomas
$a$ è fissata a priori e non va determinata a posteriori.
Non conosco il teorema citato da leev, ma se fosse vero, allora la sua
soluzione sarebbe corretta. Io avevo pensato di procedere cosi: se esiste
la soluzione, questa è limite della successione $u_n$ soluzione del
problema $\Delta u_n=0$ in $B_1-B_{1/n}$, $u_n|_{S_1}=b$ e $u_n|_{S_{1/n}}=a$.
Con un pò di conti si trova che $u_n$ è una funzione radiale e quindi,
passando al limite, lo sarebbe anche $u$. Però tutte le funzioni armoniche
radiali esplodono nell'origine e quindi tale $u$ non può essere soluzione del problema.
$a$ è fissata a priori e non va determinata a posteriori.
Non conosco il teorema citato da leev, ma se fosse vero, allora la sua
soluzione sarebbe corretta. Io avevo pensato di procedere cosi: se esiste
la soluzione, questa è limite della successione $u_n$ soluzione del
problema $\Delta u_n=0$ in $B_1-B_{1/n}$, $u_n|_{S_1}=b$ e $u_n|_{S_{1/n}}=a$.
Con un pò di conti si trova che $u_n$ è una funzione radiale e quindi,
passando al limite, lo sarebbe anche $u$. Però tutte le funzioni armoniche
radiali esplodono nell'origine e quindi tale $u$ non può essere soluzione del problema.
"ubermensch":
@thomas
$a$ è fissata a priori e non va determinata a posteriori.
infatti non l'ho fissata a posteriori....
prendi a e b.
Risolvi il problema laplaciano uguale a zero ovunque e sul bordo u=b e troverai una u(x).
prendi la u(x) e definisci u* t.c.
u*=u(x) fuori dall'origine
u*=a nell'origine
u* ha il laplaciano nullo ovunque meno che nell'origine e soddisfa le condizioni al bordo.... naturalmente non è continua nell'origine, ma non mi pare tu l'abbia richiesto...
e vabbè... così è facile!!
hai ragione comunque, non ho richiesto la continuità.
Però la voglio!
hai ragione comunque, non ho richiesto la continuità.
Però la voglio!
ok... ora torna...
trovo davvero interessante il tuo teorema leev... non è che mi potresti indicare una dimostrazione? Immagino ci sia da vedere che i limiti delle derivate prime e seconde nel punto esistono usando l'ipotesi di armonicità, right?
trovo davvero interessante il tuo teorema leev... non è che mi potresti indicare una dimostrazione? Immagino ci sia da vedere che i limiti delle derivate prime e seconde nel punto esistono usando l'ipotesi di armonicità, right?
"Thomas":
ok... ora torna...
trovo davvero interessante il tuo teorema leev... non è che mi potresti indicare una dimostrazione? Immagino ci sia da vedere che i limiti delle derivate prime e seconde nel punto esistono usando l'ipotesi di armonicità, right?
Ciao,
ora non son molto 'dentro' per afferrare appieno la prova...
però sostanzialmente si considerano le palle $B_r(x_0)$ contenute in $\Omega$ e la funzione armonica $v\in C^0(\bar B_r) nn C^2(B_r)$, tale che $u=v$ sul bordo di $B_r$.
A questo punto si dimostra che per tutte le $x\in B_r$, $u(x)=v(x)$.
E per questo si utilizza il potenziale di Newton (credo si chiami così) e la limitatezza...
Dunque per finire si pone $\bar u(x) =u(x)$per $x!=x_0$ e $\bar u(x) = v(x)$ per $x=x_0$.
Se vuoi posto la parte centrale, solo che dovrò ridecifrarla dai miei appunti prima
Magari però come dicevi ci son altri modi per dimostrarlo; è che in questo corso avevamo cercato analizzare il problema di Dirichlet sulle palle, ricavando quindi qualche teorema per queste, e poi cercando di risolverlo più generalmente.
se non hai problemi di tempo, mi piacerebbe leggerla...
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