Problema di Dirichlet
Salve devo risolvere le seguenti tipologie di esercizi di cui riporto 2 esempi.
Premetto che devo affrontare l'esame con un professore diverso rispetto a quello dell'anno scorso e quello attuale affronta la parte di programma dedicata alle equazioni differenziali alle derivate parziali che il precedente non ha affrontato.
gli esercizi sono i seguenti:
"Risolvere il problema
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\Delta u(x,y)=0 \qquad in \enspace \mathbb{R}_{+}^{2}\\
u(x,0)=\frac{sen^2x}{x^2+1} \qquad per \enspace ogni \enspace x\in \mathbb{R}\\
lim _{_{y\rightarrow +\infty }}u(x,y)=0 \qquad per \enspace ogni \enspace x\in \mathbb{R}
\end{matrix}\right. \)
dove \(\displaystyle \mathbb{R}_{+}^{2}=\left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y> 0\right \} \)"
La seconda tipologia è:
"Risolvere il problema
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\Delta u(x,y)=0 \qquad in \enspace \mathbb{R}_{+}^{2}\\
u(x,0)=\frac{cosx}{x^4+1} \qquad per \enspace ogni \enspace x\in \mathbb{R}\\
\end{matrix}\right. \)
dove \(\displaystyle \mathbb{R}_{+}^{2}=\left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y> 0\right \} \)"
Potreste gentilmente fornirmi i metodi di svolgimento e le soluzioni? Perchè non so davvero da dove cominciare!
Grazie in anticipo.
Premetto che devo affrontare l'esame con un professore diverso rispetto a quello dell'anno scorso e quello attuale affronta la parte di programma dedicata alle equazioni differenziali alle derivate parziali che il precedente non ha affrontato.
gli esercizi sono i seguenti:
"Risolvere il problema
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\Delta u(x,y)=0 \qquad in \enspace \mathbb{R}_{+}^{2}\\
u(x,0)=\frac{sen^2x}{x^2+1} \qquad per \enspace ogni \enspace x\in \mathbb{R}\\
lim _{_{y\rightarrow +\infty }}u(x,y)=0 \qquad per \enspace ogni \enspace x\in \mathbb{R}
\end{matrix}\right. \)
dove \(\displaystyle \mathbb{R}_{+}^{2}=\left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y> 0\right \} \)"
La seconda tipologia è:
"Risolvere il problema
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\Delta u(x,y)=0 \qquad in \enspace \mathbb{R}_{+}^{2}\\
u(x,0)=\frac{cosx}{x^4+1} \qquad per \enspace ogni \enspace x\in \mathbb{R}\\
\end{matrix}\right. \)
dove \(\displaystyle \mathbb{R}_{+}^{2}=\left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y> 0\right \} \)"
Potreste gentilmente fornirmi i metodi di svolgimento e le soluzioni? Perchè non so davvero da dove cominciare!
Grazie in anticipo.
Risposte
[xdom="JoJo_90"]Spostato in Analisi matematica.[/xdom]
Che strumenti hai a disposizione?
Per risolvere questi problemi o si usa l'Analisi Complessa e si fanno i conti oppure bisogna conoscere il nucleo di Poisson per il semipiano.
Che libro usate?
Per risolvere questi problemi o si usa l'Analisi Complessa e si fanno i conti oppure bisogna conoscere il nucleo di Poisson per il semipiano.
Che libro usate?
usiamo il libro "Metodi matematici per per l'ingegneria" di Frasca Di Fazio, ma di queste cose neanche l'ombra!
Allora prova a chiedere al prof. come vuole che si risolvano questi esercizi.
Un'idea che si potrebbe tentare è la seguente:
Per un fatto noto di teoria del potenziale, la soluzione del problema:
\[
\begin{cases}
\Delta u (x,y)=0 &\text{, in } \mathbb{R}_+^2:=\mathbb{R} \times ]0,\infty[\\
u(x,0)=g(x) &\text{, su } \mathbb{R}
\end{cases}
\]
si ottenga come integrale del dato iniziale contro una funzione particolare, che è:
\[
K(x,y,t):= \frac{y}{\pi}\ \frac{1}{x^2+(y-t)^2}
\]
(detta nucleo di Poisson per il semipiano), mediante la formula di Poisson:
\[
u(x,y)= \int_{-\infty}^\infty g(t)\ K(x,y,t)\ \text{d} t = \frac{y}{\pi}\ \int_{-\infty}^\infty \frac{g(t)}{x^2+(y-t)^2}\ \text{d} t\; .
\]
Tuttavia, calcolare esplicitamente l'integrale di Poisson è difficile.
Un'altra idea è che, essendo l'incognita \(u\) armonica nel semipiano, essa può sempre essere pensata come parte reale (o immaginaria) di una funzione olomorfa \(f(z)=f(x,y)\) nel semipiano: quindi, se riesci a determinare una funzione olomorfa \(f\) nel semipiano la parte reale della quale coincida col dato iniziale sul bordo del semipiano, hai determinato anche la soluzione del tuo esecizio (basta prendere come \(u\) la parte reale -o immaginaria- di \(f\)).
Tuttavia, ti conviene andare a parlare col docente.
Un'idea che si potrebbe tentare è la seguente:
Per un fatto noto di teoria del potenziale, la soluzione del problema:
\[
\begin{cases}
\Delta u (x,y)=0 &\text{, in } \mathbb{R}_+^2:=\mathbb{R} \times ]0,\infty[\\
u(x,0)=g(x) &\text{, su } \mathbb{R}
\end{cases}
\]
si ottenga come integrale del dato iniziale contro una funzione particolare, che è:
\[
K(x,y,t):= \frac{y}{\pi}\ \frac{1}{x^2+(y-t)^2}
\]
(detta nucleo di Poisson per il semipiano), mediante la formula di Poisson:
\[
u(x,y)= \int_{-\infty}^\infty g(t)\ K(x,y,t)\ \text{d} t = \frac{y}{\pi}\ \int_{-\infty}^\infty \frac{g(t)}{x^2+(y-t)^2}\ \text{d} t\; .
\]
Tuttavia, calcolare esplicitamente l'integrale di Poisson è difficile.
Un'altra idea è che, essendo l'incognita \(u\) armonica nel semipiano, essa può sempre essere pensata come parte reale (o immaginaria) di una funzione olomorfa \(f(z)=f(x,y)\) nel semipiano: quindi, se riesci a determinare una funzione olomorfa \(f\) nel semipiano la parte reale della quale coincida col dato iniziale sul bordo del semipiano, hai determinato anche la soluzione del tuo esecizio (basta prendere come \(u\) la parte reale -o immaginaria- di \(f\)).
Tuttavia, ti conviene andare a parlare col docente.
Ma partendo dalla formula di Poisson e imponendo le condizioni iniziali e al contorno non si potrebbe arrivare alle soluzione?
Certo... Ma calcolare esplicitamente:
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2 t}{1+t^2}\ \frac{1}{x^2+(y-t)^2}\ \text{d} t
\]
non mi pare proprio la cosa più semplice del mondo da fare.
Ripeto il consiglio: l'unica cosa da fare è andare a parlare col docente.
Tanto, non credo sia un cannibale...
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2 t}{1+t^2}\ \frac{1}{x^2+(y-t)^2}\ \text{d} t
\]
non mi pare proprio la cosa più semplice del mondo da fare.
Ripeto il consiglio: l'unica cosa da fare è andare a parlare col docente.
Tanto, non credo sia un cannibale...
Sarebbe interessante capire come si risolve l'esercizio.
L'integrale di Poisson mi sembra inavvicinabile.
L'idea della funzione olomorfa è interessante ma come la si sviluppa ?
Esistono altri metodi ?
L'integrale di Poisson mi sembra inavvicinabile.
L'idea della funzione olomorfa è interessante ma come la si sviluppa ?
Esistono altri metodi ?
Nucleo e formula di Poisson
Ecco come si arriva al nucleo e alla formula di Poisson nel caso di semipiano.
Sia :
$Delta u (x,y) = 0 $ in $RR^2_(+) $.
$u(x,0) = g(x), AA x in RR $.
$[ Delta u(x,y)=(del^2u)/(del x^2)+(del^2u)/(del y^2)]$
Il dominio è illimitato; $x $ varia su tutto $RR$.
E’ conveniente in questo caso usare la trasformata di Fourier che verrà indicata come $ccF $.
Pongo : $hat u (x,y)=ccF_x(x,y) $= Trasformata di Fourier di $ u $ rispetto ad $x $.
Sia $ hat u’= (del)/(del y) hat u $.
Applicando la trasformata $ccF_x$ all’equazione e alle condizioni iniziali si ottiene:
$-x^2 hat u +hat u’’=0 $
$hat u(x,0) = hat g(x)$.
SEGUE
Ecco come si arriva al nucleo e alla formula di Poisson nel caso di semipiano.
Sia :
$Delta u (x,y) = 0 $ in $RR^2_(+) $.
$u(x,0) = g(x), AA x in RR $.
$[ Delta u(x,y)=(del^2u)/(del x^2)+(del^2u)/(del y^2)]$
Il dominio è illimitato; $x $ varia su tutto $RR$.
E’ conveniente in questo caso usare la trasformata di Fourier che verrà indicata come $ccF $.
Pongo : $hat u (x,y)=ccF_x(x,y) $= Trasformata di Fourier di $ u $ rispetto ad $x $.
Sia $ hat u’= (del)/(del y) hat u $.
Applicando la trasformata $ccF_x$ all’equazione e alle condizioni iniziali si ottiene:
$-x^2 hat u +hat u’’=0 $
$hat u(x,0) = hat g(x)$.
SEGUE
La prima equazione è una normale ODE in $y $ ( pensando $x$ fissato) e risolvendola ottengo:
$hat u(x,y)= a(x)e^(xy) +b(x) e^(-xy) $.
Imponendo $hat u $ limitata per $ y rarr +oo $ si ha :
$a(x) = 0 $ per $x > 0 $;$ b(x)=0 $per $ x < 0$ e quindi:
$hat u(x,y) = c(x) e^(-|x|y) $.
Dalla seconda equazione- dato al bordo- si ottiene :
$hat u(x,y) = hat g(x) e^(-|x|y) $.
Ricordando ora che $ccF(a/(a^2+x^2)) = sqrt((pi)/2) e^(-|a|x)$
E ricordando il teorema sulla trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni si ottiene la soluzione $u(x,y) =1/(sqrt(2 pi))( g*sqrt(2/(pi)) y/(x^2+y^2) )= 1/(pi) int _RR y g(t)dt/((x-t)^2+y^2)$
Tale espressione è detta formula di Poisson. $[ * ]$ indica convoluzione.
La soluzione $u $ è assegnata dunque dalla convoluzione del dato con il nucleo di Poisson $[K(x,y)]$ per il semipiano:
$K(x,y)= (1/pi) y/(x^2+y^2) $.
Si può poi dimostrare che la formula di Poisson definisce per ogni dato $ g in L^p $ una funzione $u $ che, oltre a risolvere l’equazione $Delta u =0 $ per $ y > 0 $ , assume il dato al bordo in senso $L^p$.
$hat u(x,y)= a(x)e^(xy) +b(x) e^(-xy) $.
Imponendo $hat u $ limitata per $ y rarr +oo $ si ha :
$a(x) = 0 $ per $x > 0 $;$ b(x)=0 $per $ x < 0$ e quindi:
$hat u(x,y) = c(x) e^(-|x|y) $.
Dalla seconda equazione- dato al bordo- si ottiene :
$hat u(x,y) = hat g(x) e^(-|x|y) $.
Ricordando ora che $ccF(a/(a^2+x^2)) = sqrt((pi)/2) e^(-|a|x)$
E ricordando il teorema sulla trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni si ottiene la soluzione $u(x,y) =1/(sqrt(2 pi))( g*sqrt(2/(pi)) y/(x^2+y^2) )= 1/(pi) int _RR y g(t)dt/((x-t)^2+y^2)$
Tale espressione è detta formula di Poisson. $[ * ]$ indica convoluzione.
La soluzione $u $ è assegnata dunque dalla convoluzione del dato con il nucleo di Poisson $[K(x,y)]$ per il semipiano:
$K(x,y)= (1/pi) y/(x^2+y^2) $.
Si può poi dimostrare che la formula di Poisson definisce per ogni dato $ g in L^p $ una funzione $u $ che, oltre a risolvere l’equazione $Delta u =0 $ per $ y > 0 $ , assume il dato al bordo in senso $L^p$.
"Camillo":
Sarebbe interessante capire come si risolve l'esercizio.
L'integrale di Poisson mi sembra inavvicinabile.
L'idea della funzione olomorfa è interessante ma come la si sviluppa ?
Esistono altri metodi ?
Nessuno mi illumina ?
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