Problema di definizione: $f$ Lipschitziana

[indovina]

Riguardando i miei appunti ho letto che:

Parto da una funzione derivabile, dunque continua.

$f$ è lipschitziana in $I$ se:

Esiste un $L>0$: $|f(x)-f(y)|
quindi si parla di 'immagini vicine', se le immagini sono vicine (sarebbero le $f(x)$ e $f(y)$??) significa che è una funzione 'uniformamente continua' in $I$.

Dopo questo argomento, ho il teorema di Cantor, che è ovviamente legato a quello della $f$ è lipschitziana, in quanto dice:

$f$ continua in $X$ compatto $->$ $f$ uniformamente continua in $X$.

Vorrei capire a questo punto che differenza c'è nel dire 'funzione continua' e 'uniformamente continua'.

e il nesso che c'è con il teorema di Cantor.

(scusate se apro ancora topic su topic, me ne scuso a priori)

[Rigel1]

Si dice uniformemente (la parola "uniformamente" non esiste in italiano).
Posto che, per le definizioni di continuità, uniforme continuità e Lipschitzianità non sono richieste ipotesi di derivabilità, le implicazioni vere sono:
$f$ Lipschitziana $=>$ $f$ uniformemente continua $=>$ $f$ continua.
Le implicazioni inverse sono tutte false.
Esempi (lascio a te i dettagli):
1. $f(x) = 1/x$, $x>0$, è continua ma non uniformemente continua (e dunque nemmeno Lipschitziana)
2. $f(x) = \sqrt{x}$, $x\in [0,1]$, è uniformemente continua ma non Lipschitziana.