Problema di conti, $nabla^2(1/|s|)=-4 pi\delta(s)
$nabla^2(1/|s|)=-4 pi\delta(s)$ qualcuno sa come ci si arriva? continuo a bloccarmi e perdermi nei conti... un suggerimento?... uhm.. (che su un libro di fisica che sto leggendo lo da come fatto noto, per arrivare a dimostrare la legge di gauss, però non mi piace prendere per buono però... 
)
grazie a tutti.
... questa fisica...
)grazie a tutti.
... questa fisica...
Risposte
il ragionamento che ho fatto è stato che $int_V\nabla^2(1/|s|)dV=int_V\nabla(-s/|s|^3)dV=int_S\bar{n}*(-s/|s|^3)dS$, quindi mostrando che $int_S\nu*(-s/|s|^3)dS=-4pi$ otteniamo quello che vogliamoo.
Però ho qualche perplessità nel computare quell'integrale...(con questi calcoli non sono prorpio un fulmine di guerra ) nel senso che $dS=dxdy||phi_x\wedge phi_y||$ con $phi$ una parametrizzazione della superficie $S$. Allora otteniamo, essendo $nu=(phi_x\wedge phi_y)/(||phi_x\wedge phi_y||)=(\nabla(1/|s|))/||\nabla(1/|s|)||$ che l'integrale si può scrivere come $-int_S (\nabla(1/|s|))/||\nabla(1/|s|)||*(s/|s|^3)dS=int_S (\nabla(1/|s|))/||\nabla(1/|s|)|| *(\nabla(1/|s|))dS=int_S||\nabla(1/|s|)||^2/||\nabla(1/|s|)||dS=int_S||\nabla(1/|s|)||dS$ ovvero l'integrale di linea lungo la linea $S$, e come mai sta roba è $-4pi$?... Qualcuno ha idee su come concludere?
Però ho qualche perplessità nel computare quell'integrale...(con questi calcoli non sono prorpio un fulmine di guerra
) nel senso che $dS=dxdy||phi_x\wedge phi_y||$ con $phi$ una parametrizzazione della superficie $S$. Allora otteniamo, essendo $nu=(phi_x\wedge phi_y)/(||phi_x\wedge phi_y||)=(\nabla(1/|s|))/||\nabla(1/|s|)||$ che l'integrale si può scrivere come $-int_S (\nabla(1/|s|))/||\nabla(1/|s|)||*(s/|s|^3)dS=int_S (\nabla(1/|s|))/||\nabla(1/|s|)|| *(\nabla(1/|s|))dS=int_S||\nabla(1/|s|)||^2/||\nabla(1/|s|)||dS=int_S||\nabla(1/|s|)||dS$ ovvero l'integrale di linea lungo la linea $S$, e come mai sta roba è $-4pi$?... Qualcuno ha idee su come concludere?
ok, oggi con tutta calma e tranquillità ho rifatto tutto si riduce a dimostrare che un angolo solido integrato su una superficie è uguale a $4pi$, euristicamente ho capito anche il perchè, essendo che l'angolo solido prende ogni pezzo di superficie e la trasforma in pezzi di sfera (essendo definito come $dOmega=costheta (dS)/r^2$ con $theta$ l'angolo tra il vettore del campo e la normale alla superficie, quindi normalizza e ruota adeguatamente il tutto) ma coi calcoli non mi ritrovo pienamente. Qualcuno sa dove posso trovarli in dettaglio?...
tutto si riduce a dimostrare che un angolo solido integrato su una superficie è uguale a $4pi$, euristicamente ho capito anche il perchè, essendo che l'angolo solido prende ogni pezzo di superficie e la trasforma in pezzi di sfera (essendo definito come $dOmega=costheta (dS)/r^2$ con $theta$ l'angolo tra il vettore del campo e la normale alla superficie, quindi normalizza e ruota adeguatamente il tutto) ma coi calcoli non mi ritrovo pienamente. Qualcuno sa dove posso trovarli in dettaglio?...
Ci sono sul Gilardi Analisi 3, nel capitolo sulle distribuzioni.
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