Problema di Chauchy con trasformata di Laplace
Salve a tutti, devo dare l'esame di Metodi Matematici e non riesco a venire a capo delle trasformate di Laplace.
Sono sicuro se qualche anima pia svolgesse questo esercizio illustrandomi tutti i vari passaggi potri prenderlo d'esempio per capire meglio come operare!
L'esercizio è:
[tex]y'' - 4y' +3y = f(t)[/tex]
[tex]y(0)=0, y'(0)=1[/tex]
[tex]f(t)= \frac{t^2}{\pi^2}[/tex] se [tex]0\leq\ t \leq\ \pi[/tex]
[tex]cost[/tex] se [tex]t>\pi[/tex]
Posterei la mia soluzione, ma soltanto trasformando la funzione e isolando l' X(s) mi è uscito fuori qualcosa che impiegherei 2 giorni a scriverla a in LaTex (come vedete non sono pratico e mi sono dovuto arrangiare)
Non so cosa sbaglio, forse non noto alcune semplificazione, comunque gradirei molto la risoluzione con tutti i passaggi... Grazie mille in anticipo.
Sono sicuro se qualche anima pia svolgesse questo esercizio illustrandomi tutti i vari passaggi potri prenderlo d'esempio per capire meglio come operare!
L'esercizio è:
[tex]y'' - 4y' +3y = f(t)[/tex]
[tex]y(0)=0, y'(0)=1[/tex]
[tex]f(t)= \frac{t^2}{\pi^2}[/tex] se [tex]0\leq\ t \leq\ \pi[/tex]
[tex]cost[/tex] se [tex]t>\pi[/tex]
Posterei la mia soluzione, ma soltanto trasformando la funzione e isolando l' X(s) mi è uscito fuori qualcosa che impiegherei 2 giorni a scriverla a in LaTex (come vedete non sono pratico e mi sono dovuto arrangiare)
Non so cosa sbaglio, forse non noto alcune semplificazione, comunque gradirei molto la risoluzione con tutti i passaggi... Grazie mille in anticipo.
Risposte
Scusate l'UP, ma ho sbagliato a formulare la domanda? E' troppo difficile/seccante per risolvermelo con ogni passaggio?!
No perchè ho un esame, e mi aiuterebbe tantissimo! D:
No perchè ho un esame, e mi aiuterebbe tantissimo! D:
Giusto per capire se ti ci sei messo: la trasformata di $f(t)$ quanto ti è venuta?
Una cosa oscena mi è venuta ._.
In realtà mi pesa un po scriverla tutta in LaTex visto che non sono pratico e che è sicuramente sbagliata, ma se è l'unico modo per avere una mano ci provo...
[tex]\frac{2}{\pi s^2}-\frac{2e^{-\pi s}}{\pi s^2}-\frac{2e^{-\pi s}}{s^2+1}+3s+1[/tex]
Poi ovviamente isolando x(s) la cosa diventa ancora più oscena e mi perdo completamente, per questo vedere l'esercizio già svolto mi aiuterebbe tantissimo
In realtà mi pesa un po scriverla tutta in LaTex visto che non sono pratico e che è sicuramente sbagliata, ma se è l'unico modo per avere una mano ci provo...
[tex]\frac{2}{\pi s^2}-\frac{2e^{-\pi s}}{\pi s^2}-\frac{2e^{-\pi s}}{s^2+1}+3s+1[/tex]
Poi ovviamente isolando x(s) la cosa diventa ancora più oscena e mi perdo completamente, per questo vedere l'esercizio già svolto mi aiuterebbe tantissimo
Dunque, la faccio abbastanza diretta altrimenti devo scriverti un forum intero. Di volta in volta ti dico quali regole applico. Per prima cosa, scrivo la funzione $f$ in questo modo: indicata con $H(t-a)$ la funzione di Heaviside (quella che vale $1$ per $t>a$ e zero altrove) abbiamo
$f(t)={t^2}/{\pi^2}[H(t)-H(t-\pi)]+\cos t\cdot H(t-\pi)={t^2}/{\pi^2} H(t)-H(t-\pi)[{(t-\pi)^2}/{\pi^2}+{2t}/{\pi}-1+\cos(t-\pi)]=$
$={t^2}/{\pi^2} H(t)-H(t-\pi)[{(t-\pi)^2}/{\pi^2}+{2(t-\pi)}/{\pi}+3+\cos(t-\pi)];$
faccio questo per applicare la formula $\mathcal{L}(g(t-a) H(t-a))=e^{-as} G(s)$, dove $G(s)=\mathcal{L}(g)$. Ricordando che $\mathcal{L}(t^n)={n!}/{s^{n+1}}$, $\mathcal{L}(\cos t)=\frac{s}{s^2+1}$ e la linearità della trasformata, si ha
$\mathcal{L}(f(t))=F(s)=2/{\pi^2 s^3}-e^{-\pi s}[2/{\pi^2 s^2}+2/{\pi s^2}+3/s+s/{s^2+1}]$
Ora, fatto questo, passiamo all'equazione: applicando la trasformata ad ambo i membri otteniamo, indicando con $Y=\mathcal{L}(y)$
$s^2 Y-1-4sY+3Y=F$ da cui $Y(s)=[F(s)+1]\cdot H(s)$ essendo $H(s)=1/{s^2-4s+3}=1/2(1/{s-3}-1/{s-1})$ come è facile vedere. Osserva che, se $h$ è l'antitrasformata di $H$, allora
$h(t)=1/2(e^{3t}-e^t)$.
Quello che resta da determinare per trovare $y(t)$ è cosa succede quando antitrasformiamo $F(s)\cdot H(s)$. Ma per fare ciò, basta usare il teorema di convoluzione, il quale afferma quanto segue:
$z(t)=\mathcal{L}(F(s)\cdot H(s))=\int_0^t f(t-\tau)\cdot h(\tau)\ d\tau=\int_0^t f(\tau)\cdot h(t-\tau)\ d\tau$
Quest'ultimo integrale, in base alla definizione di $f$, si spezza al modo seguente:
1) $\int_0^t {\tau^2}/{\pi^2} h(t-\tau)\ d\tau$ se $0
2) $\int_0^\pi {\tau^2}/{\pi^2} h(t-\tau)\ d\tau+\int_\pi^t \cos t\ h(t-\tau)\ d\tau$ se $t>\pi$ (e definisce $z$ per tali valori).
Infine, la soluzione risulta $y(t)=h(t)+z(t)$.
Il resto sono solo calcoli: prova a farli e se hai problemi, chiedi.
$f(t)={t^2}/{\pi^2}[H(t)-H(t-\pi)]+\cos t\cdot H(t-\pi)={t^2}/{\pi^2} H(t)-H(t-\pi)[{(t-\pi)^2}/{\pi^2}+{2t}/{\pi}-1+\cos(t-\pi)]=$
$={t^2}/{\pi^2} H(t)-H(t-\pi)[{(t-\pi)^2}/{\pi^2}+{2(t-\pi)}/{\pi}+3+\cos(t-\pi)];$
faccio questo per applicare la formula $\mathcal{L}(g(t-a) H(t-a))=e^{-as} G(s)$, dove $G(s)=\mathcal{L}(g)$. Ricordando che $\mathcal{L}(t^n)={n!}/{s^{n+1}}$, $\mathcal{L}(\cos t)=\frac{s}{s^2+1}$ e la linearità della trasformata, si ha
$\mathcal{L}(f(t))=F(s)=2/{\pi^2 s^3}-e^{-\pi s}[2/{\pi^2 s^2}+2/{\pi s^2}+3/s+s/{s^2+1}]$
Ora, fatto questo, passiamo all'equazione: applicando la trasformata ad ambo i membri otteniamo, indicando con $Y=\mathcal{L}(y)$
$s^2 Y-1-4sY+3Y=F$ da cui $Y(s)=[F(s)+1]\cdot H(s)$ essendo $H(s)=1/{s^2-4s+3}=1/2(1/{s-3}-1/{s-1})$ come è facile vedere. Osserva che, se $h$ è l'antitrasformata di $H$, allora
$h(t)=1/2(e^{3t}-e^t)$.
Quello che resta da determinare per trovare $y(t)$ è cosa succede quando antitrasformiamo $F(s)\cdot H(s)$. Ma per fare ciò, basta usare il teorema di convoluzione, il quale afferma quanto segue:
$z(t)=\mathcal{L}(F(s)\cdot H(s))=\int_0^t f(t-\tau)\cdot h(\tau)\ d\tau=\int_0^t f(\tau)\cdot h(t-\tau)\ d\tau$
Quest'ultimo integrale, in base alla definizione di $f$, si spezza al modo seguente:
1) $\int_0^t {\tau^2}/{\pi^2} h(t-\tau)\ d\tau$ se $0
2) $\int_0^\pi {\tau^2}/{\pi^2} h(t-\tau)\ d\tau+\int_\pi^t \cos t\ h(t-\tau)\ d\tau$ se $t>\pi$ (e definisce $z$ per tali valori).
Infine, la soluzione risulta $y(t)=h(t)+z(t)$.
Il resto sono solo calcoli: prova a farli e se hai problemi, chiedi.
Non capisco una cosa, ma non dovrebbe essere [tex]z(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s)\cdot H(s))=\int_0^t f(t-\tau)\cdot h(\tau)\ d\tau=\int_0^t f(\tau)\cdot h(t-\tau)\ d\tau[/tex] ?
Sì, mi è scappato il $-1$....
E ma se è così i conti non mi tornano, cioè che fine fa poi quello che abbiamo trasformato prima? Perchè nell'integrale usiamo la funziona della traccia? Non dovremmo usare quella trasformata?
Mi sa che ti devi riguardare un po' la teoria generale delle equazioni con laplace. E' noto che se devi risolvere $Ly=f$, dove $L$ è l'operatore di secondo ordine, la soluzione verrà data dalla somma di due funzioni $y(t)=y_0(t)+z(t)$ dove $y_0$ è la soluzione di $Ly=0$ e si trova calcolando, come fatto prima, la $h$, mentre $z$ si ottiene tramite il teorema di convoluzione per le trasformate. Infatti, è noto che non è necessario trasformare il termine noto (te l'ho fatto fare per vedere se ne eri in grado).
Ok ora è chiaro, grazie. Però nel nostro esame è previsto che noi risolviamo il problema trasformando il termine noto e poi antitrasformando tutto, perchè sono esercizi impostati in maniera tale che questo metodo risulti più abbordabile che risolvere gli integrali per la convoluta. Per questo chiedevo di risolvere l'esercizio trasformando il termine noto e antitrasformando dopo aver isolato la [tex]Y(s)[/tex]
Bé, allora ti dico quali sono i passaggi da fare: tu prova e fammi sapere. Come vedi $F(s)$ è somma di vari termini: al fine di antitrasformare $FH$ basterà farlo per i vari termini presenti, ciascuno moltiplicato per $H$. Di cosa devi tenere conto:
1) l'antitrasformata di $H$ la conosci, è $h$;
2) Se poniamo $\mathcal{L}(g)=G(s)$ valgono le identità seguenti:
$\mathcal{L}^{-1}\{{G(s)}/s\}=\int_0^t g(\tau)\ d\tau,\qquad \mathcal{L}^{-1}[e^{-as} G(s)]=g(t-a)\cdot u(t-a)$
dove $u(t-a)$ è la funzione di Heaviside (l'ho indicata con un'altra lettera per evitare fraintendimenti con la $H$ venuta fuori risolvendo).
Non dovresti avere problemi, solo fare un po' di conti.
1) l'antitrasformata di $H$ la conosci, è $h$;
2) Se poniamo $\mathcal{L}(g)=G(s)$ valgono le identità seguenti:
$\mathcal{L}^{-1}\{{G(s)}/s\}=\int_0^t g(\tau)\ d\tau,\qquad \mathcal{L}^{-1}[e^{-as} G(s)]=g(t-a)\cdot u(t-a)$
dove $u(t-a)$ è la funzione di Heaviside (l'ho indicata con un'altra lettera per evitare fraintendimenti con la $H$ venuta fuori risolvendo).
Non dovresti avere problemi, solo fare un po' di conti.
Ok grazie proverò, nel frattempo potresti togliermi una curiosità?
Quando hai trasformato il termine noto, nei primissimi calcoli, con che criterio algebrito hai applicato la traslazione a [tex]t[/tex] facendolo diventare [tex]t-\pi[/tex]? Poi saltano fuori altri valori all'interno delle parentesi e non riesco a seguire il passaggio..
Quando hai trasformato il termine noto, nei primissimi calcoli, con che criterio algebrito hai applicato la traslazione a [tex]t[/tex] facendolo diventare [tex]t-\pi[/tex]? Poi saltano fuori altri valori all'interno delle parentesi e non riesco a seguire il passaggio..
Ah sì: ho usato il tipico completamento del quadrato. In pratica:
${t^2}/{\pi^2}=1/\pi^2(t-\pi+\pi)^2=1/\pi^2[(t-\pi)^2+\pi^2+2\pi(t-\pi)]={(t-\pi)^2}/{\pi^2}+1+{2(t-\pi)}/\pi$.
${t^2}/{\pi^2}=1/\pi^2(t-\pi+\pi)^2=1/\pi^2[(t-\pi)^2+\pi^2+2\pi(t-\pi)]={(t-\pi)^2}/{\pi^2}+1+{2(t-\pi)}/\pi$.
Ok, ma non posso applicarlo sempre.
Se ad esempio dovessi trasformare:
[tex]u(t-2)[tcos(\frac{\pi}{2}t)-2cos(\frac{\pi}{2}t)][/tex]
Come farei a far comparire la traslazione che mi serve?
Se ad esempio dovessi trasformare:
[tex]u(t-2)[tcos(\frac{\pi}{2}t)-2cos(\frac{\pi}{2}t)][/tex]
Come farei a far comparire la traslazione che mi serve?
Così: poniamo per un attimo $x=t-2$, per cui $t=x+2$. Allora
$u(t-2)[t\cos({\pi t}/2)-2\cos({\pi t}/2)]=u(t-2)[(t-2)\cos({\pi t}/2)]=u(x)[x\cdot\cos({\pi x}/2+\pi)]$
e poiché $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$ si ha
$=-u(x)[x\cdot\cos({\pi x}/{2})]=-u(t-2)[(t-2)\cos(\pi/2(t-2))]$.
$u(t-2)[t\cos({\pi t}/2)-2\cos({\pi t}/2)]=u(t-2)[(t-2)\cos({\pi t}/2)]=u(x)[x\cdot\cos({\pi x}/2+\pi)]$
e poiché $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$ si ha
$=-u(x)[x\cdot\cos({\pi x}/{2})]=-u(t-2)[(t-2)\cos(\pi/2(t-2))]$.
Scusami mi sono sbagliato, nell'esercizio era [tex]u(t-1)[/tex] che moltiplica tutto il resto, e non [tex]u(t-2)[/tex]
Bè, è simile, non ti pare? Poni sempre $x=t-1$ e fai le dovute sostituzioni.
Ok grazie mille, mi hai aiutato molto
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