Problema di chauchy

[Benihime1]

ho il seguente problema di chauchy
$\{(y'=sqrt|y|+sqrt(x)),(y(0)=0):}$
le richieste che non riesco a svolgere sono le seguenti
1)accertarsi che il teorem di esistenza e unicità locale nelle ipotesi Lipschitz non si può applicare
2)usando il teorema delle contrazioni provare che il problema ha soluzione unica in $ X={y in C([0,\delta]):y(0)=0,y(x)>=2/3x^(3/2)$ con $x in ([0,\delta])} $
3)usando il teorema di esistenza e unicità globale delle soluzioni,provare che la soluzione è definita su tutto $[0,\infty)$
4)dimostrare che $lim_(x->0^+)(y(x))/x^(3/2)=2/3$

tra le richieste c'era anche di mostrare che $y(x)>=2/3x^(3/2)$,ma su questo punto non h dubbi

non sono riuscita a far molto
1) se $f(x,y)=sqrt|y|+sqrt(x)$, e $x_0=y_0=0$ dobbiamo prendere un insieme $\Omega$ tale che $(x_0,y_0) in \Omega$ e f continua in $\Omega$,allora se f è lipschitziana possiamo applicare il teorema,giusto?
tuttavia io non riesco a prendere un $\Omega$ tale che $(0,0) in \Omega$ e f continua in $\Omega$ poichè f è continua solo per $x>=0$,e quindi non è possibile prendere un aperto che contenga l'origine.
Ciò basta a dire che il teorema non è applicabile?

2)se io prendo $T:X->X$ così definita
$T(y)=y'-sqrt|y|-sqrt(x)+y$
e mostro che è contrazione,allora essa ha un'unico punto fisso,cioè $T(y)=y'-sqrt|y|-sqrt(x)+y=y$ e dunque esiste unica y t.c. $y'=sqrt|y|+sqrt(x)$. Ammesso che questo ragionamento sia corretto,mi aiutte a mostrare che T è contrazione?

3)dovrei mostrare che $f(x,y)$ è lipschitziana e poi che $f(x,y)<=c(1+|y|)$ per qualche costante c,ma davvero non riesco a cavare un ragno dal buco

4)ho cominciato applicando il teorema di Hopital
$lim_(x->0^+)(y(x))/x^(3/2)=lim_(x->0^+)2/3((sqrt|y|+sqrt(x))/sqrt(x))=lim_(x->0^+)2/3(sqrt|y|/sqrt(x) +1)$
quindi basterebbe mostrare che $lim_(x->0^+) sqrt|y|/sqrt(x)=0$
però non ci riesco ..mi aiutate?
basta anche che aiutate solo in qualcosina

[robbstark1]

"Benihime":
1) se $f(x,y)=sqrt|y|+sqrt(x)$, e $x_0=y_0=0$ dobbiamo prendere un insieme $\Omega$ tale che $(x_0,y_0) in \Omega$ e f continua in $\Omega$,allora se f è lipschitziana possiamo applicare il teorema,giusto?
tuttavia io non riesco a prendere un $\Omega$ tale che $(0,0) in \Omega$ e f continua in $\Omega$ poichè f è continua solo per $x>=0$,e quindi non è possibile prendere un aperto che contenga l'origine.
Ciò basta a dire che il teorema non è applicabile?

Non credo venga accettato, perchè potremmo dire che il teorema è applicabile in un intorno destro dell'origine. A essere pignoli, ovviamente un intorno destro non è un intorno, tuttavia la restrizione a destra sarebbe un banale corollario del teorema di esistenza e unicità locale.
Piuttosto bisogna dimostrare che la funzione [tex]f(x,y) = \sqrt{ |y| } + \sqrt{x}[/tex] non è localmente lipschitziana in $y$ uniformemente rispetto ad $x$ in un intorno del punto $(x=0,y=0)$. Cioè, non è vero che esiste un $L>0$ tale che, presi $y_1$ e $y_2$, si abbia [tex]|f(x,y_1) - f(x,y_2)| \le L |y_1-y_2|[/tex], per ogni $x$ fissata. Questo equivarrebbe a dire:
[tex]| \sqrt{ |y_1|} - \sqrt{ |y_2|} | \le L |y_1 - y_2|[/tex]
Questo è facile vedere che non è vero per qualsiasi $y_1$ e $y_2$, per fare questo conviene limitarsi a considerare valori positivi di $y_1$ e $y_2$, così da potere togliere i valori assoluti dentro le radici. Così si arriva a ottenere:
[tex]\frac{1}{ | \sqrt{y_1} + \sqrt{y_2} |} \le L[/tex]
E a questo punto è chiaro che qualunque $L$ si scelga, sarà sempre possibile trovare $y_1$ e $y_2$ abbastanza piccoli da rendere non valida questa disuguaglianza.

[Benihime1]

ok grazie,padroneggio poco questi teoremi,sono agli inizi