Problema di Chauchy
ho il seguente problema di Chauchy
$\{(y'=sqrt(x^2+y^2+1)),(y(0)=0):}$
ho già verificato le prime 4 richieste del problema,ossia di dimostrare l'unicità della soluzione,che la soluzione è dispari,che è convessa per $x>=0$ e l'esistenza globale della soluzione su $RR$.
Ora mi viene chiesto di verificare che $y>=sinh(x)$ $AA x>=0$
UN PO' DI TENTATIVI:
La mia idea era questa:entrambe le funzioni passano per l'origine, e sono crescenti convesse $AA x>=0$;quindi mi viene da dire che se dimostro che $y'=sqrt(x^2+y^2+1)>=cosh(x)$ anche la prima proprietà è dimostrata,ma non riesco a fare assolutamente nulla. Iterare il procedimento non serve,perchè $y''=y+x/sqrt(x^2+y^2+1)$ quindi avrei $y+x/sqrt(x^2+y^2+1)>=sinh(x)$,un gatto che si morde la coda.
Allora ho pensato che $sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2$ e di maggiorare questa quantità...tuttavia ho pensato che $e^(-x)$ sarebbe anche facilmente maggiorabile,ma se lo maggioro la sua "piccolezza" non bilancerebbe più la "grandezza" di $e^(x)$,e quindi mi troverei a maggiorare un esponenziale puro che è ben difficile.
Poi ho pensato agli sviluppi asintotici,ma essi sono locali.
Insomma non ne vengo fuori...idee?
$\{(y'=sqrt(x^2+y^2+1)),(y(0)=0):}$
ho già verificato le prime 4 richieste del problema,ossia di dimostrare l'unicità della soluzione,che la soluzione è dispari,che è convessa per $x>=0$ e l'esistenza globale della soluzione su $RR$.
Ora mi viene chiesto di verificare che $y>=sinh(x)$ $AA x>=0$
UN PO' DI TENTATIVI:
La mia idea era questa:entrambe le funzioni passano per l'origine, e sono crescenti convesse $AA x>=0$;quindi mi viene da dire che se dimostro che $y'=sqrt(x^2+y^2+1)>=cosh(x)$ anche la prima proprietà è dimostrata,ma non riesco a fare assolutamente nulla. Iterare il procedimento non serve,perchè $y''=y+x/sqrt(x^2+y^2+1)$ quindi avrei $y+x/sqrt(x^2+y^2+1)>=sinh(x)$,un gatto che si morde la coda.
Allora ho pensato che $sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2$ e di maggiorare questa quantità...tuttavia ho pensato che $e^(-x)$ sarebbe anche facilmente maggiorabile,ma se lo maggioro la sua "piccolezza" non bilancerebbe più la "grandezza" di $e^(x)$,e quindi mi troverei a maggiorare un esponenziale puro che è ben difficile.
Poi ho pensato agli sviluppi asintotici,ma essi sono locali.
Insomma non ne vengo fuori...idee?
Risposte
Ipotizziamo che $y$ sia davvero $sinh(x)$ e
proviamo a vedere se soddisfa questo pdC $w'=\sqrt(w^2+1), w(0)=0$.
Ovviamente lo soddisfa perchè $w'=cosh(x)$ e $\sqrt(sinh^2(x)+1)=cosh(x)$.
Adesso però torniamo alla eq. diff. originale e constatiamo che $y'=\sqrt(x^2+y^2+1)\ge\sqrt(y^2+1)=w'$.
Quindi $y'>w', \forall x$ da cui segue necessariamente che $y>w=sinh(x), \ x>0$.
proviamo a vedere se soddisfa questo pdC $w'=\sqrt(w^2+1), w(0)=0$.
Ovviamente lo soddisfa perchè $w'=cosh(x)$ e $\sqrt(sinh^2(x)+1)=cosh(x)$.
Adesso però torniamo alla eq. diff. originale e constatiamo che $y'=\sqrt(x^2+y^2+1)\ge\sqrt(y^2+1)=w'$.
Quindi $y'>w', \forall x$ da cui segue necessariamente che $y>w=sinh(x), \ x>0$.
cavolo grazie!avevo provato a sostituire sinh(x) nelPdC originario,ma mi pareca non portasse a nulla..grazie mille
@ Benihime: Occhio che si scrive Cauchy, senza la "h" tra la "C" e la "a". 
grazie mille
*si sotterra*
*si sotterra*
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