Problema di Cauchy...veramente un problema.
Salve in questo problema di Caushy riesco a trovare la soluzione ma mi vengono dei dubbi sulle soluzioni di 1 e di 3 categoria vediamo che ne dite voi...
MI SI CHIEDE DI PRECISARE IL PIU' AMPIO INTERVALLO DOVE LA SOLUZIONE E' DEFINITA
$ \{y'=xy+2xy^3,y(0)=1:}$
1 categoria y=0 ??? ma per il dato iniziale non è soluzione ?
2 categoria
$(y')/(y+2y^3)=x$
integrando ottengo
$log|y|-1/2log|1+2y^2|=1/2x^2+c$
$logy^2-log(1+2y^2)=x^2+c$
$y^2/(1+2y^2)=(e^(x^2))e^c$
a questo punto utilizzando il dato iniziale mi troco la costante $ e^c=1/3$ mi viene cosi per trovare il più ampio intervallo io faccio cosi pongo$ 1/3e^(x^2) >0 per ogni x $
Quindi la soluzione è globale????
poi mi sistemo la soluzione che mi viene $ y=(1/sqrt(3)*e^x)/sqrt(1-2/3e^(x^2)) $
che sembra rispettare il dato iniziale adesso per le soluzioni di 3 categoria se le seconde sono globali non dovrebbero esserci se no dovrei fare un operazione di limite?
MI SI CHIEDE DI PRECISARE IL PIU' AMPIO INTERVALLO DOVE LA SOLUZIONE E' DEFINITA
$ \{y'=xy+2xy^3,y(0)=1:}$
1 categoria y=0 ??? ma per il dato iniziale non è soluzione ?
2 categoria
$(y')/(y+2y^3)=x$
integrando ottengo
$log|y|-1/2log|1+2y^2|=1/2x^2+c$
$logy^2-log(1+2y^2)=x^2+c$
$y^2/(1+2y^2)=(e^(x^2))e^c$
a questo punto utilizzando il dato iniziale mi troco la costante $ e^c=1/3$ mi viene cosi per trovare il più ampio intervallo io faccio cosi pongo$ 1/3e^(x^2) >0 per ogni x $
Quindi la soluzione è globale????
poi mi sistemo la soluzione che mi viene $ y=(1/sqrt(3)*e^x)/sqrt(1-2/3e^(x^2)) $
che sembra rispettare il dato iniziale adesso per le soluzioni di 3 categoria se le seconde sono globali non dovrebbero esserci se no dovrei fare un operazione di limite?
Risposte
Premetto che non ho ricontrollato i tuoi conti. Mi limito ad osservare che il tuo problema di Cauchy soddisfa le condizioni richieste dal teorema di esistenza ed unicità della soluzione. La soluzione esiste ed è unica però secondo Wolfram Alpha la soluzione del tuo problema è addirittura complessa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y' ... 0%2C%20y(0)%20%3D%201&t=crmtb01
Comunque prova a ripartire da qui:
$ int_0^x (y'(s))/(y(s) + y^3(s)) ds = int_0^x s ds $
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y' ... 0%2C%20y(0)%20%3D%201&t=crmtb01
Comunque prova a ripartire da qui:
$ int_0^x (y'(s))/(y(s) + y^3(s)) ds = int_0^x s ds $
OPS, chiedo scusa, ma per errore mi è rimasto mozzato il link. Provo a riscriverlo:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 0%29+%3D+1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 0%29+%3D+1
Scrivo un po' di fretta, quindi mi perdonerete eventuali errori (so già che qualcuno li correggerà).
***
Abbiamo:
\[
\begin{cases}y^\prime (x) =x(y(x)+2y^3(x)) \\ y(0)=1\end{cases}
\]
Dato che \(f(x,y):=x(y+2y^3)\) è localmente lipschitziana, la soluzione esiste in un intorno di \(x_0=0\); d'altra parte, \(f(x,y)\) è superlineare, ergo la soluzione massimale che coincide con quella locale precedentemente menzionata dovrà "esplodere in tempo finito", ossia l'insiema di definizione di tale funzione sarà un intervallo aperto \(I\) diverso da \(\mathbb{R}\).
Chiamiamo \(y:I\mapsto \mathbb{R}\) la soluzione massimale del p.d.C.: evidentemente tale soluzione è di classe \(C^\infty (I)\) (basta un po' di bootstrap), \(x_0=0\) è un estremante (infatti dalla EDO segue \(y^\prime (x_0)=0\)) ed anzi è un minimo, poiché localmente si ha \(y^\prime (x)<0\) [risp. \(>0\)] per \(x<0\) [risp. \(>0\)].
Fissato \(x>0\) possiamo dire che \(y(x)>1\), ergo si può divedere m.a.m. nella EDO per \(y(x)+2y^3(x)\) ottenendo:
\[
\frac{y^\prime (x)}{y(x)+2y^3(x)}=x\; ;
\]
integrando m.a.m. sull'intervallo \([0,x]\) si trova:
\[
\int_0^x \frac{y^\prime (t)}{y(t)+2y^3(t)}\ \text{d} t=\int_0^x t\ \text{d} t =\frac{x^2}{2}
\]
e, facendo come lecito il cambiamento di variabile \(\eta =y(t)\) al primo membro, si ha:
\[
\int_1^{y(x)} \frac{1}{\eta +2\eta^3}\ \text{d}\ \eta = \frac{x^2}{2}\; .
\]
L'integrale al primo membro si calcola con metodi elementari:
\[
\ln \frac{\eta}{\sqrt{2\eta^2+1}}\Bigg|_1^{y(x)}= \ln \frac{y(x)}{\sqrt{1+2y^2(x)}}-\ln \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
(si è tenuto presente che \(y(x)\geq 1>0\) per \(x\geq 0\)) perciò la soluzione del p.d.C. a destra di \(0\) è definita implicitamente dall'equazione:
\[
\ln \frac{\sqrt{3}\ y(x)}{\sqrt{1+2y^2(x)}} =\frac{x^2}{2}\; .
\]
Esplicitando si trova:
\[
\ln \frac{3\ y^2(x)}{1+2y^2(x)} =x^2 \quad \Rightarrow \quad (3-2e^{x^2} ) y^2(x)=e^{x^2}
\]
sicché, tenendo presente la condizione iniziale:
\[
y(x) =\frac{e^{x^2/2}}{\sqrt{3-2e^{x^2}}}\; .
\]
Per \(x<0\) si ragiona allo stesso modo e si trova la stessa espressione elementare per \(y(x)\) localmente intorno a \(0\).
Dato che \(y(x)\) è l'unico prolungamanto dalla funzione elementare sopra descritta, l'intervallo \(I\) coincide con il più grande intervallo contenente \(0\) in cui la \(y(x)\) ha l'espressione elementare individuata prima; la funzione \(\frac{e^{x^2/2}}{\sqrt{3-2e^{x^2}}}\) è definita per gli \(x\) tali che \(3-2e^{x^2}>0\), ossia per:
\[
x\in ]-\sqrt{\ln 3-\ln 2} ,\sqrt{\ln 3-\ln2}[\; ,
\]
e l'ultimo insieme è un intervallo contenente \(0\); pertanto l'insieme di definizione della soluzione massimale \(y(x)\) è \(I=]-\sqrt{\ln 3-\ln 2} ,\sqrt{\ln 3-\ln2}[\ \sim\ ]-0.636,0.636[\).
***
Abbiamo:
\[
\begin{cases}y^\prime (x) =x(y(x)+2y^3(x)) \\ y(0)=1\end{cases}
\]
Dato che \(f(x,y):=x(y+2y^3)\) è localmente lipschitziana, la soluzione esiste in un intorno di \(x_0=0\); d'altra parte, \(f(x,y)\) è superlineare, ergo la soluzione massimale che coincide con quella locale precedentemente menzionata dovrà "esplodere in tempo finito", ossia l'insiema di definizione di tale funzione sarà un intervallo aperto \(I\) diverso da \(\mathbb{R}\).
Chiamiamo \(y:I\mapsto \mathbb{R}\) la soluzione massimale del p.d.C.: evidentemente tale soluzione è di classe \(C^\infty (I)\) (basta un po' di bootstrap), \(x_0=0\) è un estremante (infatti dalla EDO segue \(y^\prime (x_0)=0\)) ed anzi è un minimo, poiché localmente si ha \(y^\prime (x)<0\) [risp. \(>0\)] per \(x<0\) [risp. \(>0\)].
Fissato \(x>0\) possiamo dire che \(y(x)>1\), ergo si può divedere m.a.m. nella EDO per \(y(x)+2y^3(x)\) ottenendo:
\[
\frac{y^\prime (x)}{y(x)+2y^3(x)}=x\; ;
\]
integrando m.a.m. sull'intervallo \([0,x]\) si trova:
\[
\int_0^x \frac{y^\prime (t)}{y(t)+2y^3(t)}\ \text{d} t=\int_0^x t\ \text{d} t =\frac{x^2}{2}
\]
e, facendo come lecito il cambiamento di variabile \(\eta =y(t)\) al primo membro, si ha:
\[
\int_1^{y(x)} \frac{1}{\eta +2\eta^3}\ \text{d}\ \eta = \frac{x^2}{2}\; .
\]
L'integrale al primo membro si calcola con metodi elementari:
\[
\ln \frac{\eta}{\sqrt{2\eta^2+1}}\Bigg|_1^{y(x)}= \ln \frac{y(x)}{\sqrt{1+2y^2(x)}}-\ln \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
(si è tenuto presente che \(y(x)\geq 1>0\) per \(x\geq 0\)) perciò la soluzione del p.d.C. a destra di \(0\) è definita implicitamente dall'equazione:
\[
\ln \frac{\sqrt{3}\ y(x)}{\sqrt{1+2y^2(x)}} =\frac{x^2}{2}\; .
\]
Esplicitando si trova:
\[
\ln \frac{3\ y^2(x)}{1+2y^2(x)} =x^2 \quad \Rightarrow \quad (3-2e^{x^2} ) y^2(x)=e^{x^2}
\]
sicché, tenendo presente la condizione iniziale:
\[
y(x) =\frac{e^{x^2/2}}{\sqrt{3-2e^{x^2}}}\; .
\]
Per \(x<0\) si ragiona allo stesso modo e si trova la stessa espressione elementare per \(y(x)\) localmente intorno a \(0\).
Dato che \(y(x)\) è l'unico prolungamanto dalla funzione elementare sopra descritta, l'intervallo \(I\) coincide con il più grande intervallo contenente \(0\) in cui la \(y(x)\) ha l'espressione elementare individuata prima; la funzione \(\frac{e^{x^2/2}}{\sqrt{3-2e^{x^2}}}\) è definita per gli \(x\) tali che \(3-2e^{x^2}>0\), ossia per:
\[
x\in ]-\sqrt{\ln 3-\ln 2} ,\sqrt{\ln 3-\ln2}[\; ,
\]
e l'ultimo insieme è un intervallo contenente \(0\); pertanto l'insieme di definizione della soluzione massimale \(y(x)\) è \(I=]-\sqrt{\ln 3-\ln 2} ,\sqrt{\ln 3-\ln2}[\ \sim\ ]-0.636,0.636[\).
Grande gugo82 
Mi dici solo come hai fatto per far stare centrate le formule a centro pagina anziché tutte da un lato?
Mi dici solo come hai fatto per far stare centrate le formule a centro pagina anziché tutte da un lato?
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