Problema di Cauchy[Risoluzione esponenziale di matrice]

[Bisneff]

Abbiamo il seguente problema di Cauchy:

${ ( x'_1= -3x_1 + 2x_2 + x_3 ),( x'_2 = -5x_1 + 3x_2 + 2x_3 ),( x'_3 = -x_1 + x_2 ):}$ ${ ( x_1(0)= 1 ),( x_2(0) = 0 ),( x_3(0) = 0 ):} $


qualcuno di voi sa, come si fa ad arrivare alla soluzione? Ho le dispense del mio professore, (Link, ma non son riuscito a capirci molto, nonostante vi abbia passato sopra molto tempo. Vuole la risoluzione attraverso l'esponenziale di una matrice.

So che non spiegate di solito le cose, ma già un link a dispense più chiare o un breve cenno di teoria, il minimo che basta per risolverlo, mi salverebbe l'esame.

Grazie


Edit: Non so chi è il mod che l'ha spostato, ma questo tipo di problemi noi li abbiamo affrontati nel corso di algebra lineare, infatti la risoluzione è richiesta previa matrici ed esponenziali di matrici... Comunque per me va bene tutto, basta che mi aiutate ad uscire da sto casino

[Bisneff]

Scusate, faccio UP!

Please help me!

[dissonance]

Se vuoi una spiegazione semplice ma (IMHO) sufficientemente ben fatta di queste cose puoi consultare il libro di Pagani-Salsa Analisi matematica 2, capitolo sulle equazioni differenziali. Altrimenti c'è un bel libro online, molto completo, a questo indirizzo:

http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/

l'autore è Gerald Teschl e mi pare che usi lo stesso approccio del tuo professore. Comunque il discorso è questo. Riscriviamo il tuo sistema di ODE in questa forma compatta:

$dot(x)(t)=Ax(t)$.

Allora, proprio come se $A$ fosse uno scalare costante, l'integrale generale è

$x(t)=e^{At}x_0$

dove $x(0)=x_0$. Chiaramente questo pone il problema di calcolare l'esponenziale della matrice $At$. E qui interviene la teoria della forma canonica di Jordan di cui parla anche il tuo prof.

[Bisneff]

Ti ringrazio per la risposta... Quindi in generale se ho un esercizio tipo quello sopra, che faccio? Metto in matrice i coefficenti di $x_1,x_2,x_3$ poi la riduco a blocchi di Jordan?

Oddio sto facendo una gran confusione. Mi mostrereste passaggio per passaggio l'esercizio sopra?

[dissonance]

Senti ti dico la verità: non lo so fare. So che il procedimento è quello da te indicato ma non ho mai studiato seriamente la forma canonica di Jordan e non saprei esattamente quali conti fare. Purtroppo il tuo prof ha fabbricato apposta un esempio in cui la matrice $A$ (matrice dei coefficienti) non è diagonalizzabile e quindi la forma canonica di Jordan è strettamente necessaria.

La teoria che c'è dietro comunque non è difficile. Si tratta di calcolare

$e^{At}x_0$,

dove $A$ è la matrice dei coefficienti e $x_0=[[1], [0], [0]]$. A questo scopo devi trovare una matrice invertibile $S$ tale che $A=SJS^{-1}$, dove $J$ è la forma canonica di Jordan di $A$. Allora dalla teoria sai che

$e^{At}x_0=Se^{Jt}S^{-1}x_0$

e $e^{Jt}$ si calcola in modo standard.

[Bisneff]

Rispondo.

Capendoci sempre di più sono arrivato fin qui. Poi cerco zattera:

$A = | ( -3 , 2 , 1 ),( -5 , 3 , 2),( -1 , 1 , 0 ) |$

$P_t (A) = t^3

L'operatore è nilpotente con p=3 (p indice di nilpotenza)

le molteplicità:
$m_a (0) = 3 m_g (0) = 3 - rank (A) = 3 -2 = 1$

$J= | ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1),( 0 , 0 , 0 ) |$

Dicono le mie fonti (i risultati scritti dal prof.) che per studiare $V_o$ devo lavorare con
$A^2 = | ( -2 , 1 , 1 ),( -2 , 1 , 1),( -2 , 1 , 1 ) |$

Ma una formula che ho sulle dispense dice:

$V'_\lambda := ker (f - \lambda id_V)^[m_a (\lambda)]$

I risultati dati sono poi : Una base a stringhe per A è data dai vettori: $ (1 , 1 , 1), (1,2,0) (0,0,1)$

Qui chiedo l'ancora: Perchè $A^2$ e non $A^3$? Da dove escono quei vettori?

EDIT: domani ho l'esame quindi entro sta sera, poi non vi scoccio più