Problema di Cauchy....ho un dubbio!!
ciao ragazzi....
dal titolo avrete gia capito che un dubbio mi pervade la mente..
.devo risolvere il problema di chauchy seguente.....
$\{(y' = ((y+x)/x)),(y(2)=2):}$
ora dato che y' = a(t) + b(t) vorrei sapere:
considerando che si puo scrivere y'=y/x +1
a(t) = 1/x E b(t) = 1
oppure b(t) = 0???????? [cioè un termine noto vale cmq anche da solo come b(t) o ha bisogno per forza di una variabile??( che so tipo 1x...)]
ciao e grazie!!!!
dal titolo avrete gia capito che un dubbio mi pervade la mente..
.devo risolvere il problema di chauchy seguente.....$\{(y' = ((y+x)/x)),(y(2)=2):}$
ora dato che y' = a(t) + b(t) vorrei sapere:
considerando che si puo scrivere y'=y/x +1
a(t) = 1/x E b(t) = 1
oppure b(t) = 0???????? [cioè un termine noto vale cmq anche da solo come b(t) o ha bisogno per forza di una variabile??( che so tipo 1x...)]
ciao e grazie!!!!
Risposte
...forse volevi scrivere:
$y'=a(t)y+b(t)$
Da cui poni $a(t)=1/x$ e $b(t)=1$ che significa che $b$ è costante (e che quindi non abbisogna di una "variabile" anche se qui è presente con esponente $0$)
$y'=a(t)y+b(t)$
Da cui poni $a(t)=1/x$ e $b(t)=1$ che significa che $b$ è costante (e che quindi non abbisogna di una "variabile" anche se qui è presente con esponente $0$)
ok grazie mille...chiaro e veloce.....(per quanto riguarda la y, l'ho dimenticata ma lo so che la forma corretta è quella che hai scritto tu...solo una svista)
ciao e grazie ancora
ciao e grazie ancora
Potresti mettere un titolo che specifichi l'argomento? Grazie.
meglio??? 
di nulla.........
di nulla.........
Potresti anche evitare il maiuscolo nel titolo (vedi regolamento)? 
Grazzzie!
Grazzzie!
e va be...ma allora.........uff....va be lo cambio di nuovo..... 
spero che questa volta vada bene, perchè è davvero l'ultima......
spero che questa volta vada bene, perchè è davvero l'ultima......
"mikelozzo":
e va be...ma allora.........uff....va be lo cambio di nuovo.....
spero che questa volta vada bene, perchè è davvero l'ultima......
Si adesso va bene. In che senso e' davvero l'ultima? Non mi sembra di essere stato invadente nel chiederti di rispettare il regolamento.
Ciao.
no ok....invadente no...però cambiarlo 300 volte con tutta la buona volontà è un o fastidioso
Noto un paio di cose.
Innanzitutto la variabile indipendente pare essere $x$, quindi dovresti scrivere $y'=a(x)*y+b(x)$.
Inoltre, l'equazione può essere ricondotta ad un'equazione a variabili separabili (senza "termine noto" $b(x)$) con la sostituzione $z(x)=(y(x)+x)/x$: infatti con un po' di conti trovi:
$z'=((y'+1)x-(y+x))/x^2=(xy'-y)/x^2$
da cui, tenendo presente che $xy'=y+x$, ricavi:
$z'=1/x$;
dalla condizione iniziale $y(2)=2$ ricavi invece:
$z(2)=(y(2)+2)/2=2$,
cosicché $z(x)$ è l'unica soluzione del problema di Cauchy:
$\{(z'=1/x),(z(2)=2):}$
che è facilmente risolubile.
Una volta determinata l'espressione analitica di $z(x)$, l'espressione della soluzione $y(x)$ del problema originale si ricava dalla relazione $y(x)=x*(z(x)-1)$.
Innanzitutto la variabile indipendente pare essere $x$, quindi dovresti scrivere $y'=a(x)*y+b(x)$.
Inoltre, l'equazione può essere ricondotta ad un'equazione a variabili separabili (senza "termine noto" $b(x)$) con la sostituzione $z(x)=(y(x)+x)/x$: infatti con un po' di conti trovi:
$z'=((y'+1)x-(y+x))/x^2=(xy'-y)/x^2$
da cui, tenendo presente che $xy'=y+x$, ricavi:
$z'=1/x$;
dalla condizione iniziale $y(2)=2$ ricavi invece:
$z(2)=(y(2)+2)/2=2$,
cosicché $z(x)$ è l'unica soluzione del problema di Cauchy:
$\{(z'=1/x),(z(2)=2):}$
che è facilmente risolubile.
Una volta determinata l'espressione analitica di $z(x)$, l'espressione della soluzione $y(x)$ del problema originale si ricava dalla relazione $y(x)=x*(z(x)-1)$.
sei un grande......nn ci ho capito molto a dire il vero perchè nn sn geniaccio come voi 
......però ci guarderò meglio con piu calma quando ne avrò il tempo perchè se mi puo semplificare le cose tanto meglio.....vorrei cogliere l'occasione per ringraziare tutti voi che ci aiutate (ogni tanto quando posso aiuto anche io...) perchè dedicate davvero il vostro tempo alle persone che hanno bisogno...
vorrei scusarmi anche con il signor (credo.....o ragazzo??) martino che cmq svolge la sua funzione di moderatore.....in effetti assolveva solo al suo compito ed io sn stato un po scortese...mi scusi.....ringrazio tutti cmq
PER GUGO: se ho dei problemi nel seguire il tuo ragionamento ti rispondo qui senza aprire un altro topic
grazie a tutti...ciao
......però ci guarderò meglio con piu calma quando ne avrò il tempo perchè se mi puo semplificare le cose tanto meglio.....vorrei cogliere l'occasione per ringraziare tutti voi che ci aiutate (ogni tanto quando posso aiuto anche io...) perchè dedicate davvero il vostro tempo alle persone che hanno bisogno...vorrei scusarmi anche con il signor (credo.....o ragazzo??) martino che cmq svolge la sua funzione di moderatore.....in effetti assolveva solo al suo compito ed io sn stato un po scortese...mi scusi.....ringrazio tutti cmq
PER GUGO: se ho dei problemi nel seguire il tuo ragionamento ti rispondo qui senza aprire un altro topic
grazie a tutti...ciao
Quella che ho usato è una tecnica abbastanza standard: infatti l'equazione è del tipo "del primo ordine a secondo membro omogeneo".
Un'equazione del primo ordine $y'=f(x,y)$ si dice a secondo membro omogeneo se la funzione $f$ dipende esclusivamente dal rapporto $y/x$ (evidentemente si pone $x!=0$), ossia se esiste una funzione $g$ tale che $f(x,y)=g(y/x)$ per ogni $(x,y)$ nell'insieme di definizione di $f$.
Nel caso in esame è $f(x,y)=(y+x)/x=1+y/x$ e $g(y/x)=y/x+1$ dipende solo dal rapporto di $x$ ed $y$, perciò l'equazione assegnata è a secondo membro omogeneo.
Se $y'=f(x,y)$ è a secondo membro omogeneo si può quindi scrivere $y'=g(y/x)$; la sostituzione $z=y/x$ consente sempre di ricondurre l'equazione $y'=g(y/x)$ ad un'equazione a variabili separabili in $z$. Infatti si ha:
$\quad z'=(xy'-y)/x^2=1/x(y'-y/x)=1/x(g(y/x)-y/x)=(g(z)-z)/x$
e l'equazione $z'=(g(z)-z)/x$ è a variabili separabili.
Risolta $z'=(g(z)-z)/x$, la funzione $y$ la trovi dalla relazione $y=x*z$.
Nota che la sostituzione che ho fatto per svolgere il tuo esercizio (ossia $z=(y+x)/x=y/x+1$) differisce da quella "standard" che ti ho appena mostrato per una costante additiva (pari ad $1$), la quale è ininfluente quando derivi $z$ rispetto a $x$.
Un'equazione del primo ordine $y'=f(x,y)$ si dice a secondo membro omogeneo se la funzione $f$ dipende esclusivamente dal rapporto $y/x$ (evidentemente si pone $x!=0$), ossia se esiste una funzione $g$ tale che $f(x,y)=g(y/x)$ per ogni $(x,y)$ nell'insieme di definizione di $f$.
Nel caso in esame è $f(x,y)=(y+x)/x=1+y/x$ e $g(y/x)=y/x+1$ dipende solo dal rapporto di $x$ ed $y$, perciò l'equazione assegnata è a secondo membro omogeneo.
Se $y'=f(x,y)$ è a secondo membro omogeneo si può quindi scrivere $y'=g(y/x)$; la sostituzione $z=y/x$ consente sempre di ricondurre l'equazione $y'=g(y/x)$ ad un'equazione a variabili separabili in $z$. Infatti si ha:
$\quad z'=(xy'-y)/x^2=1/x(y'-y/x)=1/x(g(y/x)-y/x)=(g(z)-z)/x$
e l'equazione $z'=(g(z)-z)/x$ è a variabili separabili.
Risolta $z'=(g(z)-z)/x$, la funzione $y$ la trovi dalla relazione $y=x*z$.
Nota che la sostituzione che ho fatto per svolgere il tuo esercizio (ossia $z=(y+x)/x=y/x+1$) differisce da quella "standard" che ti ho appena mostrato per una costante additiva (pari ad $1$), la quale è ininfluente quando derivi $z$ rispetto a $x$.
quella è una EDO lineare del 1° ordine a coefficienti variabili esprimibile come:
$y'=\alpha(x)y + \beta(x)$ dove $\alpha(x)=1/x$ e $\beta(x)= \beta =1$
sia A(x) la primitiva di $\alpha(x)$, cioè A(x)= logx + C, l'integrale generale si scrive:
$y(x) = e^(log(x))[C + \int_(2)^(x) (e^(-log(s))ds]$ e la costante la ricavi imponendo $y(2)=2$
$y'=\alpha(x)y + \beta(x)$ dove $\alpha(x)=1/x$ e $\beta(x)= \beta =1$
sia A(x) la primitiva di $\alpha(x)$, cioè A(x)= logx + C, l'integrale generale si scrive:
$y(x) = e^(log(x))[C + \int_(2)^(x) (e^(-log(s))ds]$ e la costante la ricavi imponendo $y(2)=2$
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