Problema di Cauchy: unicità della soluzione nulla?
Ciao ragazzi,
avrei un problema da risolvere, si tratta di un problema di Cauchy nel quale c'è da dimostrare l'unicità di una soluzione con certe ipotesi sulla funzione f.
Vi scrivo intanto il testo, poi magari se vi va ne discutiamo:
Sia [tex]f: R \rightarrow R[/tex] una funzione continua tale che [tex]f(0)=0, f(x)>0[/tex] se [tex]x \neq 0[/tex], e [tex]\int_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}=+ \infty[/tex]. Provare che [tex]y=0[/tex] è l'unica soluzione al problema di Cauchy
\begin{cases}y'=f(y)\\
y(0)=0\end{cases}
Ora, io ho pensato a due possibilità. Si può lavorare supponendo che esista una funzione [tex]y: I \rightarrow R[/tex] (con I contenente 0) continua e derivabile, non costantemente nulla, e vedere se si perviene ad un assurdo, oppure cercare di provare la Lipschitzianità locale di f(y), in modo da avere l'unicità di soluzioni (locali).
Ho provato a seguire la prima strada, supponendo che esista la y risolvente il problema di Cauchy, che vale 0 in [tex]x=0[/tex] ma che in generale non è costantemente 0. Se [tex]y(x)>0[/tex] (idem per [tex]y(x)<0[/tex]), allora la funzione composta [tex]f(y(x))[/tex] è positiva per costruzione, quindi avremo [tex]y'(x)>0[/tex] - ovvero y monotona crescente - per ogni x diverso da 0 (dove y si annulla, e quindi si annulla anche la f).
Ora, probabilmente l'informazione che mi dà l'integrale nel testo del problema non riesco a utilizzarla nel modo corretto, perchè mi sono bloccato qui. Mi dareste qualche consiglio?
Vi ringrazio fin da adesso..un saluto.
avrei un problema da risolvere, si tratta di un problema di Cauchy nel quale c'è da dimostrare l'unicità di una soluzione con certe ipotesi sulla funzione f.
Vi scrivo intanto il testo, poi magari se vi va ne discutiamo:
Sia [tex]f: R \rightarrow R[/tex] una funzione continua tale che [tex]f(0)=0, f(x)>0[/tex] se [tex]x \neq 0[/tex], e [tex]\int_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}=+ \infty[/tex]. Provare che [tex]y=0[/tex] è l'unica soluzione al problema di Cauchy
\begin{cases}y'=f(y)\\
y(0)=0\end{cases}
Ora, io ho pensato a due possibilità. Si può lavorare supponendo che esista una funzione [tex]y: I \rightarrow R[/tex] (con I contenente 0) continua e derivabile, non costantemente nulla, e vedere se si perviene ad un assurdo, oppure cercare di provare la Lipschitzianità locale di f(y), in modo da avere l'unicità di soluzioni (locali).
Ho provato a seguire la prima strada, supponendo che esista la y risolvente il problema di Cauchy, che vale 0 in [tex]x=0[/tex] ma che in generale non è costantemente 0. Se [tex]y(x)>0[/tex] (idem per [tex]y(x)<0[/tex]), allora la funzione composta [tex]f(y(x))[/tex] è positiva per costruzione, quindi avremo [tex]y'(x)>0[/tex] - ovvero y monotona crescente - per ogni x diverso da 0 (dove y si annulla, e quindi si annulla anche la f).
Ora, probabilmente l'informazione che mi dà l'integrale nel testo del problema non riesco a utilizzarla nel modo corretto, perchè mi sono bloccato qui. Mi dareste qualche consiglio?
Vi ringrazio fin da adesso..un saluto.
Risposte
Non sono del tutto convinto e forse sbaglio qualcosa... però non mi sembra che 0 sia l'unica soluzione:
se io prendo $f(x)=x^2$
[tex]\int_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}=[-1/x]_0^1=+ \infty[/tex]
Per cui verifica la condizione.
Poi mi basta prendere $f(y)= 2 sqrt y = 2x = y'$
per cui ho verficato tutte le condizioni: $y(0)=0$ e anche $y>0, x\in(0,1]$
Sei sicuro che sia $y'=f(y)$ ?
se io prendo $f(x)=x^2$
[tex]\int_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}=[-1/x]_0^1=+ \infty[/tex]
Per cui verifica la condizione.
Poi mi basta prendere $f(y)= 2 sqrt y = 2x = y'$
per cui ho verficato tutte le condizioni: $y(0)=0$ e anche $y>0, x\in(0,1]$
Sei sicuro che sia $y'=f(y)$ ?
Sì Quinzio, sono sicurissimo anche perchè ho il testo davanti 
E' parso molto strano anche a me comunque..ed il tuo controesempio, così a prima occhiata, mi pare calzante.
E' parso molto strano anche a me comunque..ed il tuo controesempio, così a prima occhiata, mi pare calzante.
Il testo dell'esercizio è corretto.
Puoi trovare un'indicazione sul modo di procedere nella dispensa indicata qui (al cap. 2):
post412566.html#p412566
Puoi trovare un'indicazione sul modo di procedere nella dispensa indicata qui (al cap. 2):
post412566.html#p412566
Grazie Rigel!
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