Problema di Cauchy un po strano...
Ho incontrato questo problema di Cauchy...
L'insieme delle soluzioni di $\{(y^(\IV)+8*y = 0),(\lim_(x->\infty)y(x)=0):}$ è uno spazio vettoriale di dimensione?
Io mi scrivo la mia bella equazione associata e più precisamente $y^4+8 = 0$ i problemi sono:
1. Come si trovano le soluzioni di quella equazione?
2. Se riuscissi a trovare le soluzioni come calcolerei la dimensione dello spazio vettoriale che formano?
Grazie ancora!
L'insieme delle soluzioni di $\{(y^(\IV)+8*y = 0),(\lim_(x->\infty)y(x)=0):}$ è uno spazio vettoriale di dimensione?
Io mi scrivo la mia bella equazione associata e più precisamente $y^4+8 = 0$ i problemi sono:
1. Come si trovano le soluzioni di quella equazione?
2. Se riuscissi a trovare le soluzioni come calcolerei la dimensione dello spazio vettoriale che formano?
Grazie ancora!
Risposte
Al di là delle condizioni al contorno che andrebbero discusse a parte, hai un'equazione lineare di ordine 4:
$y^((4))=-8y
che si dimostra essere equivalente (è immediato) a risolvere il sistema lineare omogeneo di ordine 4 con matrice companion
$A(t)=((0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(-8,0,0,0))$.
Se lo sai risolvere è fatta.
$y^((4))=-8y
che si dimostra essere equivalente (è immediato) a risolvere il sistema lineare omogeneo di ordine 4 con matrice companion
$A(t)=((0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(-8,0,0,0))$.
Se lo sai risolvere è fatta.
non so a he cosa ti potrebbe servire, però, per trovare le soluzioni (ovviamente complesse) dell'equazione $y^4+8=0$ puoi, o ricorrere a de Moivre, o scomporre il binomio con metodi di manipolazione algebrica:
$y^4+8=y^4+8+4sqrt(2)y^2-4sqrt(2)y^2=(y^2+2sqrt(2))^2-(2root(4)(2)y)^2=(y^2+2root(4)(2)y+2sqrt(2))(y^2-2root(4)(2)y+2sqrt(2))$
spero di essere stata utile. ciao.
$y^4+8=y^4+8+4sqrt(2)y^2-4sqrt(2)y^2=(y^2+2sqrt(2))^2-(2root(4)(2)y)^2=(y^2+2root(4)(2)y+2sqrt(2))(y^2-2root(4)(2)y+2sqrt(2))$
spero di essere stata utile. ciao.
$y^4=-8$
$y_1=-root(4)(2)+root(4)(8)$
$y_2=-root(4)(2)-root(4)(8)$
$y_3=root(4)(2)+root(4)(8)$
$y_4=root(4)(2)-root(4)(8)$
da cui la soluzione è:
$y=c_1e^(y_1x)+c_2e^(y_2x)+c_3e^(y_3x)+c_4e^(y_4x)$
Dato che:
$lim_(x rightarrow oo) y = 0$
$lim_(x rightarrow oo) c_1e^(y_1x)+c_2e^(y_2x)+c_3e^(y_3x)+c_4e^(y_4x) =0
da cui necessariamente:
$c_3=c_4=0$
$y_1=-root(4)(2)+root(4)(8)$
$y_2=-root(4)(2)-root(4)(8)$
$y_3=root(4)(2)+root(4)(8)$
$y_4=root(4)(2)-root(4)(8)$
da cui la soluzione è:
$y=c_1e^(y_1x)+c_2e^(y_2x)+c_3e^(y_3x)+c_4e^(y_4x)$
Dato che:
$lim_(x rightarrow oo) y = 0$
$lim_(x rightarrow oo) c_1e^(y_1x)+c_2e^(y_2x)+c_3e^(y_3x)+c_4e^(y_4x) =0
da cui necessariamente:
$c_3=c_4=0$
@Megan00b: No, purtroppo non so risolvere una matrice del genere... E poi con il mio prof. non ha mai parlato di risoluzione di equazioni con matrici...
@adaBTTLS: Scomporre il polinomio è la prima cosa che ho provato a fare in sede d'esame... ma indubbiamente avendo un ora a disposizione per 12 esercizi, questo, mi ha rubato quasi mezz'ora e non ho fatto in tempo a concludere il compito.
@Lord K: Mi interessa invece come sei arrivato alle varie soluzioni... se puoi dirmi in parole povere come si fa
Ora ammesso che io riesca a trovare le soluzioni come faccio a capire la dimensioni dello spazio vettoriale generato da queste?
Grazie
@adaBTTLS: Scomporre il polinomio è la prima cosa che ho provato a fare in sede d'esame... ma indubbiamente avendo un ora a disposizione per 12 esercizi, questo, mi ha rubato quasi mezz'ora e non ho fatto in tempo a concludere il compito.
@Lord K: Mi interessa invece come sei arrivato alle varie soluzioni... se puoi dirmi in parole povere come si fa
Ora ammesso che io riesca a trovare le soluzioni come faccio a capire la dimensioni dello spazio vettoriale generato da queste?
Grazie
"Lord K":
$y^4=-8$
$y_1=-root(4)(2)+root(4)(8)$
$y_2=-root(4)(2)-root(4)(8)$
$y_3=root(4)(2)+root(4)(8)$
$y_4=root(4)(2)-root(4)(8)$
da cui la soluzione è:
$y=c_1e^(y_1x)+c_2e^(y_2x)+c_3e^(y_3x)+c_4e^(y_4x)$
Dato che:
$lim_(x rightarrow oo) y = 0$
$lim_(x rightarrow oo) c_1e^(y_1x)+c_2e^(y_2x)+c_3e^(y_3x)+c_4e^(y_4x) =0
da cui necessariamente:
$c_3=c_4=0$
Mi aspetto dalla soluzione dell'equazione di quarto grado numeri complessi e non reali ( deve mancare qualche unità immaginaria $i $
).Dimensioni dello spazio vettoriale delle soluzioni : se la soluzione richiesta dell'equazione differenziale fosse $y=c_1e^(y_1x)+c_2 e^(y_2x) $ allora lo spazio avrebbe dimensione 2 in quanto le soluzioni sono combinazione lineare di due funzioni linearmente indipendenti.
Ok, appunto mi interessava sapere come avesse fatto lordK a giungere a quei risultati in quanto sono sicuramente soluzioni complesse...
Osservate cosa giustamente ha scritto adaBTTLS:
(@Martino: si ho fatto confuzione con i conti
)
$y^4+8=0$
$y^4+8=(y^2+2root(4)(2)y+2 sqrt(2))(y^2-2root(4)(2)y+2 sqrt(2))$
Allora calcolo semplicemente le soluzioni delle due equazioni di grado 2:
$y^2+2root(4)(2)y+2 sqrt(2)=0$
$y_1=-root(4)(2)-iroot(4)(2)$
$y_2=-root(4)(2)+iroot(4)(2)$
$y^2-2root(4)(2)y+2 sqrt(2)=0$
$y_3=root(4)(2)-iroot(4)(2)$
$y_4=root(4)(2)+iroot(4)(2)$
per lo stesso fatto però la soluzione sarà:
$y=c_1e^(y_1x)+c_2e^(y_2x)+c_3e^(y_3x)+c_4e^(y_4x)$
Ma per lo stesso motivo specificato sopra però $c_3=c_4=0$
(@Martino: si ho fatto confuzione con i conti
)$y^4+8=0$
$y^4+8=(y^2+2root(4)(2)y+2 sqrt(2))(y^2-2root(4)(2)y+2 sqrt(2))$
Allora calcolo semplicemente le soluzioni delle due equazioni di grado 2:
$y^2+2root(4)(2)y+2 sqrt(2)=0$
$y_1=-root(4)(2)-iroot(4)(2)$
$y_2=-root(4)(2)+iroot(4)(2)$
$y^2-2root(4)(2)y+2 sqrt(2)=0$
$y_3=root(4)(2)-iroot(4)(2)$
$y_4=root(4)(2)+iroot(4)(2)$
per lo stesso fatto però la soluzione sarà:
$y=c_1e^(y_1x)+c_2e^(y_2x)+c_3e^(y_3x)+c_4e^(y_4x)$
Ma per lo stesso motivo specificato sopra però $c_3=c_4=0$
Ok perfetto! Quindi alla fine lo spazio vettoriale è di dimensione 2.
Grazie mille!
Grazie mille!
@ Lord K
Se ti riferisci a me, non mi chiamo Martino !!
Inoltre è bene spiegare perchè $c_3=c_4 =0 $ : $y_3 ,y_4$ hanno parte reale positiva e quyindi producono una funzione esponenziale/sinusoidale che esplode per $x rarr +oo $ , mentre $y_1,y_2 $ hanno parte reale negativa e quindi producono una funzione esponenziale / sinusoidale smorzata sempre per $x rarr +oo$.
Se ti riferisci a me, non mi chiamo Martino !!
Inoltre è bene spiegare perchè $c_3=c_4 =0 $ : $y_3 ,y_4$ hanno parte reale positiva e quyindi producono una funzione esponenziale/sinusoidale che esplode per $x rarr +oo $ , mentre $y_1,y_2 $ hanno parte reale negativa e quindi producono una funzione esponenziale / sinusoidale smorzata sempre per $x rarr +oo$.
Perdonissima!!!!
Sisi per $c_3 = c_4 = 0$ non avevo dubbi e so anche il perchè
Una cosa che mi sembra strana è che quando ho una soluzione del tipo $a+ib$ quindi complessa il risultato dell'equazione differenziale dovrebbe essere questo $e^(ax)(c_1\sin(bx)+c_2cos(bx))$ alemno questo è quello che ho imparato io... perchè qui non avete usato questo tipo di soluzione?
Ora sono riuscito cmq ad ottenere le stesse soluzioni applicando questo tipo di procedimento:
$y^4 = -8$ ho ottenuto $y^4 = 8e^(i\pi)$
Ottenendo le medesime soluzioni, potrebbe andare bene ugualmente?
Una cosa che mi sembra strana è che quando ho una soluzione del tipo $a+ib$ quindi complessa il risultato dell'equazione differenziale dovrebbe essere questo $e^(ax)(c_1\sin(bx)+c_2cos(bx))$ alemno questo è quello che ho imparato io... perchè qui non avete usato questo tipo di soluzione?
Ora sono riuscito cmq ad ottenere le stesse soluzioni applicando questo tipo di procedimento:
$y^4 = -8$ ho ottenuto $y^4 = 8e^(i\pi)$
Ottenendo le medesime soluzioni, potrebbe andare bene ugualmente?
Perchè non ha utilità in questo caso... la soluzione con i numeri complessi è comunque corretta.
Ah quindi scrivere comunque in questo modo è corretto? il mio professore la pensa diversamente... Dovrò farglielo notare allora...
"ethos":
Ah quindi scrivere comunque in questo modo è corretto? il mio professore la pensa diversamente... Dovrò farglielo notare allora...
Io aspetterei un attimo a farglielo notare
Se tu devi trovare, come immagino, come soluzioni delle funzioni reali di variabile reale sarà meglio che usi la "tua" formula.
La soluzione espressa come esponenziale complesso ("davvero" complesso, intendo) è una funzione di variabile reale ma a valori complessi. Differenziucola non trascurabile.
Sinceramente non so che tipo di soluzioni devo trovare, anche perchè se uso la mia formula lo spazio vettoriale delle funzioni ha grandezza 4, se uso quella del forum invece lo spazio viene di grandezza 2... E 2 è la risposta corretta....
Boh...
Boh...
Sarà che sono un prof, ma mi domando: se non sai neanche cosa devi cercare, cosa volevi far notare al tuo prof? La tua poca conoscenza della materia? O le idee confuse che hai sulle equazioni differenziali lineari?
Beh indubbiamente fargli notare perchè ha sempre detto che la scrittura proposta qui sul forum per lui è sbagliata.... Sarebbe stata una semplice domanda da cui mi potevo aspettare una semplice risposta....
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