Problema di Cauchy, teoria banale
Ciao a tutti!! prima di tutto volevo ringraziarvi, anche per merito del vostro aiuto sono riuscito a portare a casa un 28 in analisi 1 
Sono deciso a dare l'esame di analisi 2 e ho alcuni dubbi sulla teoria dei problemi di Cauchy. Vengo al dunque:
Risolvendo ad esempio un'equazione differenziale a variabili separabili ottengo la soluzione generale. Tramite la risoluzione del problema di Cauchy riesco invece ad ottenere una soluzione locale che passa per il punto assegnato $y(x0)=y0$. La soluzione che passa per il punto dato non è detto però che esista , e sia unica. In questo esercizio ad esempio le soluzioni sono 3:
Uploaded with ImageShack.us
Da questo esempio ci sono alcune cose che non capisco, la prima funzione indicata come soluzione per $ t>0$ assume due valore distinti, ma questo non è contro la definizione stessa di funzione?
Altra cosa, nella seconda funzione indicata come soluzione, questa vale anche per $t<=0$ , ma le funzioni g1 e g2 sono definite solo per $ t> 0 $
la fonte è autorevole (sbordone) quindi di sicuro sfugge a me qualche passaggio.
Spero ci sia qualcuno gentile e con tanta pazienza che mi aiuti a chiarirmi le idee...
Sono deciso a dare l'esame di analisi 2 e ho alcuni dubbi sulla teoria dei problemi di Cauchy. Vengo al dunque:
Risolvendo ad esempio un'equazione differenziale a variabili separabili ottengo la soluzione generale. Tramite la risoluzione del problema di Cauchy riesco invece ad ottenere una soluzione locale che passa per il punto assegnato $y(x0)=y0$. La soluzione che passa per il punto dato non è detto però che esista , e sia unica. In questo esercizio ad esempio le soluzioni sono 3:
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Da questo esempio ci sono alcune cose che non capisco, la prima funzione indicata come soluzione per $ t>0$ assume due valore distinti, ma questo non è contro la definizione stessa di funzione?
Altra cosa, nella seconda funzione indicata come soluzione, questa vale anche per $t<=0$ , ma le funzioni g1 e g2 sono definite solo per $ t> 0 $
la fonte è autorevole (sbordone) quindi di sicuro sfugge a me qualche passaggio.
Spero ci sia qualcuno gentile e con tanta pazienza che mi aiuti a chiarirmi le idee...
Risposte
C'è solo un errore di stampa, nella definizione di $phi_1$ il primo pezzo è per $t<=0$. Tempo fa parlammo di questo argomento qui: https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#374510
chissà, magari ti può essere utile. Se cerchi nel forum ci saranno di sicuro post molto più esaurienti di questo che ho linkato.
chissà, magari ti può essere utile. Se cerchi nel forum ci saranno di sicuro post molto più esaurienti di questo che ho linkato.
grazie mille!! ora mi leggo tutto! mi scuso se non ho fatto una ricerca ma essendo un'esempio preciso non pensavo di trovarlo...
Avrei bisogno ancora di un'aiutino...
Ho alcuni dubbi nel trovare l'insieme di definizione della soluzione di un problema di Cauchy. Provo a fare un po' di chiarezza:
Dato il P.C.
$ { ( y'(x)=f(x)g(y(x)) ),( y(x0)=y0 ):} $
Supponiamo
$ f(x) in C { ( -oo , 3 ) U (8,+oo) }
$ g(y(x)) in C^1{ (-oo , -5) U (-5 , 10] U (20 , +oo) }
Mi rendo conto che probabilmente sono condizioni che nessuna funzione esistente soddisfi. So che alcuni rabbrivideranno, ma è giusto per capire, fatemela passare per favore
Abbiamo che l'eq diff è a variabili separabili svolgiamo i calcoli e otteniamo la soluzione generale:
$z=z(x)$.
Il primo dubbio è qui, questa funzione per essere considerata soluzione dell'eq diff dovrà valere:
$ z'(x)=f(x,z(x))$ $ AA x in I $
Problema (1)
Quello che non riesco a capire è il collegamento tra Dominio e Codominio di $z(x)$ e quelli iniziali di $f(x)$ e $g(y(x))$, mi potete aiutare? devono essere rispettivamente uguali?
Problema (2)
A questo punto non ci resta che andare a trovare la soluzione particolare, supponiamo:
$y(0)=3 $
sia $bar z$$(x)$ la relativa soluzione particolare e sia definita per valori di $x >= -20$ . In questo caso il massino intervallo contenente il punto $x0=0$ è $( -20 , +oo )$ però la funzione è soluzione in $(-oo , 3)$ quindi il risultante intervallo sarà $J=(-20,3)$.
Fino a questo punto credo di non aver commesso particolari atrocità, ma il dubbio è questo:
la funzione $bar z$$(x)$ per valori di $x in J$ dovrà assumere valori in $(-5 , 10]$ contenente il punto $y0=3$, giusto?
Se ciò non dovesse accadere, per trovare il corretto intervallo di definizione della soluzione, dovrei andare a limitare ulteriormente il dominio di $bar z$$(x)$ affinchè sia verificato? oppure è impossibile e se ciò avviene ho sicuramente sbagliato qualche calcolo?
Scusate per la lunghezza del post, spero anche di essermi spiegato abbastanza chiaramente.
Grazie per qualsiasi tipo di aiuto.
Ho alcuni dubbi nel trovare l'insieme di definizione della soluzione di un problema di Cauchy. Provo a fare un po' di chiarezza:
Dato il P.C.
$ { ( y'(x)=f(x)g(y(x)) ),( y(x0)=y0 ):} $
Supponiamo
$ f(x) in C { ( -oo , 3 ) U (8,+oo) }
$ g(y(x)) in C^1{ (-oo , -5) U (-5 , 10] U (20 , +oo) }
Mi rendo conto che probabilmente sono condizioni che nessuna funzione esistente soddisfi. So che alcuni rabbrivideranno, ma è giusto per capire, fatemela passare per favore
Abbiamo che l'eq diff è a variabili separabili svolgiamo i calcoli e otteniamo la soluzione generale:
$z=z(x)$.
Il primo dubbio è qui, questa funzione per essere considerata soluzione dell'eq diff dovrà valere:
$ z'(x)=f(x,z(x))$ $ AA x in I $
Problema (1)
Quello che non riesco a capire è il collegamento tra Dominio e Codominio di $z(x)$ e quelli iniziali di $f(x)$ e $g(y(x))$, mi potete aiutare? devono essere rispettivamente uguali?
Problema (2)
A questo punto non ci resta che andare a trovare la soluzione particolare, supponiamo:
$y(0)=3 $
sia $bar z$$(x)$ la relativa soluzione particolare e sia definita per valori di $x >= -20$ . In questo caso il massino intervallo contenente il punto $x0=0$ è $( -20 , +oo )$ però la funzione è soluzione in $(-oo , 3)$ quindi il risultante intervallo sarà $J=(-20,3)$.
Fino a questo punto credo di non aver commesso particolari atrocità, ma il dubbio è questo:
la funzione $bar z$$(x)$ per valori di $x in J$ dovrà assumere valori in $(-5 , 10]$ contenente il punto $y0=3$, giusto?
Se ciò non dovesse accadere, per trovare il corretto intervallo di definizione della soluzione, dovrei andare a limitare ulteriormente il dominio di $bar z$$(x)$ affinchè sia verificato? oppure è impossibile e se ciò avviene ho sicuramente sbagliato qualche calcolo?
Scusate per la lunghezza del post, spero anche di essermi spiegato abbastanza chiaramente.
Grazie per qualsiasi tipo di aiuto.
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