Problema di Cauchy (tanto per cambiare...0_o')
Ciao,
vi propongo questo esercizio:
la soluzione massimale y(x) del problema di Cauchy:
$\{(y' = (sen(x))/(11y+1)), (y(1)=-2):}$
A) è strettamente crescente e definita in un intervallo limitato
B)altro
C)è definita in $R$ e periodica
D) è limitata superiormente ma non periodica
allora io ho fatto cosi (non so se ho fatto bene, spero di si)
ho cercato di risolvere il problema di Cauchy nel metodo tradizionale delle equazioni a variabili separabili.
quindi presupponendo che debba partire dalla condizione $G(y) = F(x)$ dove in questo caso G(y) e F(x) sono:
G(y) = $\int_{-2}^{y} (11t+1)dt$ e F(x)= $\int_{1}^{x}sen(s)ds$
da questi ottengo:
G(y) = $\int_{-2}^{y} (11t)dt$ + $\int_{-2}^{y} (1)dt$ e cioè = $11(y^2/2-2)+y-2$
F(x) = $\int_{1}^{x}sen(s)ds$ = $cos(1)-cos(x)$
per cui per $G(y) = F(x)$ si ottiene:
$11/2y^2-24+y=cos(1)-cos(x)$
ok...ma adesso arrivato a questo punto come mi ricavo la y(x)???? cioè la soluzione che poi dovrei andare a studiare per rispondere all'esercizio come la isolo da tutto quel papocchio di roba??? o_O'
ciao, grazie!!
vi propongo questo esercizio:
la soluzione massimale y(x) del problema di Cauchy:
$\{(y' = (sen(x))/(11y+1)), (y(1)=-2):}$
A) è strettamente crescente e definita in un intervallo limitato
B)altro
C)è definita in $R$ e periodica
D) è limitata superiormente ma non periodica
allora io ho fatto cosi (non so se ho fatto bene, spero di si)
ho cercato di risolvere il problema di Cauchy nel metodo tradizionale delle equazioni a variabili separabili.
quindi presupponendo che debba partire dalla condizione $G(y) = F(x)$ dove in questo caso G(y) e F(x) sono:
G(y) = $\int_{-2}^{y} (11t+1)dt$ e F(x)= $\int_{1}^{x}sen(s)ds$
da questi ottengo:
G(y) = $\int_{-2}^{y} (11t)dt$ + $\int_{-2}^{y} (1)dt$ e cioè = $11(y^2/2-2)+y-2$
F(x) = $\int_{1}^{x}sen(s)ds$ = $cos(1)-cos(x)$
per cui per $G(y) = F(x)$ si ottiene:
$11/2y^2-24+y=cos(1)-cos(x)$
ok...ma adesso arrivato a questo punto come mi ricavo la y(x)???? cioè la soluzione che poi dovrei andare a studiare per rispondere all'esercizio come la isolo da tutto quel papocchio di roba??? o_O'
ciao, grazie!!
Risposte
io non ricordo le condizioni iniziali applicate in quel modo...
dall'equazione differenziale ricavo
$int\(11y+1)dy=int\senx dx -> 11/2 y^2+y+c_1=-cosx+c_2 -> 11y^2+2y+2cosx+k=0$
$y=(-1+-sqrt(1-22cosx-11k))/11$
da $y(1)=-2$ si ricava $+-sqrt(-22cos1-11k+1)-1=-22$, dunque la soluzione da accettare è quella con il "meno".
condizione di esistenza: $k<=1-22cos1$
condizione iniziale: $-22cos1-11k+1=441 -> 11k=-22cos1-440$
sostituisco nella y ed ottengo:
$y=-1/11-1/11*sqrt(441+22cos1-22cosx)$
spero di essere stata chiara e di non avere scritto sciocchezze. ciao.
dall'equazione differenziale ricavo
$int\(11y+1)dy=int\senx dx -> 11/2 y^2+y+c_1=-cosx+c_2 -> 11y^2+2y+2cosx+k=0$
$y=(-1+-sqrt(1-22cosx-11k))/11$
da $y(1)=-2$ si ricava $+-sqrt(-22cos1-11k+1)-1=-22$, dunque la soluzione da accettare è quella con il "meno".
condizione di esistenza: $k<=1-22cos1$
condizione iniziale: $-22cos1-11k+1=441 -> 11k=-22cos1-440$
sostituisco nella y ed ottengo:
$y=-1/11-1/11*sqrt(441+22cos1-22cosx)$
spero di essere stata chiara e di non avere scritto sciocchezze. ciao.
ho disegnato la funzione con derive che mi hai scritto tu ed effettivamente ha una lievissima oscillazione periodica ed e definita su tutto $R$
però ho parecchi dubbi:
1 il metodo che hai usato tu è diverso dal mio...tu hai usato prima una costante arbitraria e poi attraverso la condizione iniziale sei andata a calcolarla...io invece l'ho inserita direttamente come integrale definito
2 fare il grafico di questa funzione la vedo duretta....*_*
3 tu hai trattato quella funzione come un "normale" polinomio di secondo grado per trovare le soluzioni ma hai inserito anche il termine in x (questo termine l'hai usato come diciamo la $b$ dell'ipotetico polinomio vero??
4 come faccio a calcolare il periodo di una roba simile??
mah...
comunque grazie....
però ho parecchi dubbi:
1 il metodo che hai usato tu è diverso dal mio...tu hai usato prima una costante arbitraria e poi attraverso la condizione iniziale sei andata a calcolarla...io invece l'ho inserita direttamente come integrale definito
2 fare il grafico di questa funzione la vedo duretta....*_*
3 tu hai trattato quella funzione come un "normale" polinomio di secondo grado per trovare le soluzioni ma hai inserito anche il termine in x (questo termine l'hai usato come diciamo la $b$ dell'ipotetico polinomio vero??
4 come faccio a calcolare il periodo di una roba simile??
mah...
comunque grazie....
prego.
spero che qualcun altro possa aiutarti in qualche passaggio: ma non era un semplice quesito a scelta multipla?
per quanto riguarda il metodo, questo è quello che ricordo.
cosx non ha y (quindi l'ho preso come una parte di $c$, non di $b$).
per il periodo, non garantisco che sia facile, ma puoi provare ad applicare la definizione.
se con un altro metodo ottieni una funzione diversa, vuol dire che c'è qualcosa che non va.
se ottieni la stessa, indipendentemente dal metodo usato, le questioni che hai posto per il mio risultato si ripresenterebbero integralmente...
in attesa di sentire altri pareri, come faresti?
ciao.
spero che qualcun altro possa aiutarti in qualche passaggio: ma non era un semplice quesito a scelta multipla?
per quanto riguarda il metodo, questo è quello che ricordo.
cosx non ha y (quindi l'ho preso come una parte di $c$, non di $b$).
per il periodo, non garantisco che sia facile, ma puoi provare ad applicare la definizione.
se con un altro metodo ottieni una funzione diversa, vuol dire che c'è qualcosa che non va.
se ottieni la stessa, indipendentemente dal metodo usato, le questioni che hai posto per il mio risultato si ripresenterebbero integralmente...
in attesa di sentire altri pareri, come faresti?
ciao.
ciao
dunque continuando con il metodo che seguivo io e scegliendo il segno "meno" per la condizione iniziale avrei fatto:
$-2/(22)-sqrt(4-44(2cosx-2cos1-48))/(22)$ e cioè $-1/(11)-sqrt(2108++88cos1-88cosx)/(22)$
ora la cosa interessante è che facendo il grafico con d*riv* la funzione che "fuoriesce" dai miei calcoli è identica alla tua tranne per un "piccolissimo" dettaglio....cioè è traslata di pochissimo piu in giu negli assi cartesiani...
come devo interpretare questo segno del destino???
aspetto tue notizie...ciauz
dunque continuando con il metodo che seguivo io e scegliendo il segno "meno" per la condizione iniziale avrei fatto:
$-2/(22)-sqrt(4-44(2cosx-2cos1-48))/(22)$ e cioè $-1/(11)-sqrt(2108++88cos1-88cosx)/(22)$
ora la cosa interessante è che facendo il grafico con d*riv* la funzione che "fuoriesce" dai miei calcoli è identica alla tua tranne per un "piccolissimo" dettaglio....cioè è traslata di pochissimo piu in giu negli assi cartesiani...
come devo interpretare questo segno del destino???
aspetto tue notizie...ciauz
la puoi scrivere anche tu semplificata (a proposito, non è 2108 ma 2116, che diviso per 4 fa 529, al posto del mio 441, che non è detto sia esatto...).
prova a postare anche i passaggi intermedi. ciao.
P.S. forse ho capito: io ho ottenuto -21 da +1-22, mentre tu hai ottenuto + o - 23 (-+22+-1)...
secondo PS: se sostituisci x=1, non ottieni y=-2.
mi sono divertita a rifare io i conti: anche senza "scegliere a priori il segno", ed anche ricorreggendo il numero sotto radice, verrebbe:
$y=(-1+-sqrt(529+22cos1-22cosx))/11$ che, con $x=1$, diventa $y=(-1+-23)/11 = {[-24/11],[+2] :}$
mentre con la mia funzione la condizione iniziale è soddisfatta: con il metodo che uso io determino la costante in maniera tale che le condizioni iniziali siano soddisfatte ...
prova a postare anche i passaggi intermedi. ciao.
P.S. forse ho capito: io ho ottenuto -21 da +1-22, mentre tu hai ottenuto + o - 23 (-+22+-1)...
secondo PS: se sostituisci x=1, non ottieni y=-2.
mi sono divertita a rifare io i conti: anche senza "scegliere a priori il segno", ed anche ricorreggendo il numero sotto radice, verrebbe:
$y=(-1+-sqrt(529+22cos1-22cosx))/11$ che, con $x=1$, diventa $y=(-1+-23)/11 = {[-24/11],[+2] :}$
mentre con la mia funzione la condizione iniziale è soddisfatta: con il metodo che uso io determino la costante in maniera tale che le condizioni iniziali siano soddisfatte ...
riporto una selezione di due interventi riprendendo questo topic perché mi sono accorta di una svista nell'integrazione: correggo qui per far vedere che i risultati coincidono.
ciao.
"mikelozzo":
ciao
ho cercato di risolvere il problema di Cauchy nel metodo tradizionale delle equazioni a variabili separabili.
quindi presupponendo che debba partire dalla condizione $G(y) = F(x)$ dove in questo caso G(y) e F(x) sono:
G(y) = $\int_{-2}^{y} (11t+1)dt$ e F(x)= $\int_{1}^{x}sen(s)ds$
da questi ottengo:
G(y) = $\int_{-2}^{y} (11t)dt$ + $\int_{-2}^{y} (1)dt$ e cioè = $11(y^2/2-2)+y+2$ *(qui mi sono permessa di cambiare un segno)
F(x) = $\int_{1}^{x}sen(s)ds$ = $cos(1)-cos(x)$
per cui per $G(y) = F(x)$ si ottiene:
$11/2y^2-20+y=cos(1)-cos(x)$
dunque continuando con il metodo che seguivo io e scegliendo il segno "meno" per la condizione iniziale avrei fatto:
$-2/(22)-sqrt(4-44(2cosx-2cos1-40))/(22)$ e cioè $-1/(11)-sqrt(1-11(2cosx-2cos1-40))/(11)=-1/11-1/11*sqrt(441-22cosx+22cos1)$
ciao.
HAI RAGIONE!! ho dimenticato un meno...ora si che mi trovo....comq abbiamo constatato che anche il mio metodo (quando viene eseguito senza errori di calcolo ) funziona...CIAO CIAO e grazie ADA!!! se non ci risentiamo prima del 25..BUON NATALE!!!
) funziona...CIAO CIAO e grazie ADA!!! se non ci risentiamo prima del 25..BUON NATALE!!!
... ebbene sì, i metodi sono equivalenti!
ciao e Buon Natale!
ciao e Buon Natale!
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