[Problema di Cauchy] Soluzioni Diverse Dalle Attese

[nunziox]

${(y'=1/(x^2-1)*sqrt(y-1)),(y(0)=2):}$

quindi

$y'=1/(x^2-1)*sqrt(y-1)$

$(y')/sqrt(y-1)=1/(x^2-1)$

integrando:

$2sqrt(y-1)=1/2log((1-x)/(x+1))+c$

$y=[1/4log((1-x)/(x+1))+c]^2+1$ segue che $2+c^2=1$ quindi $c=+-1$

$y=[1/4log((1-x)/(x+1))+-1]^2+1$ con $c=+-1$

calcolando con Wolfram Alpha non sembra trovare le stesse soluzioni:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3D1%2F%28x%5E2-1%29*sqrt%28y-1%29%2Cy%280%29%3D2

[dissonance]

Wolfram Alpha non si usa così alla cieca. Ci sono tanti modi per scrivere il risultato già di una sola integrazione, figurati cosa può succedere integrando una equazione differenziale non lineare come questa. Per esempio, nel tuo caso potrebbe benissimo essere che state dicendo la stessa cosa, ma lui ha svolto il quadrato e usato le proprietà dei logaritmi mentre tu hai lasciato il tutto in forma compatta. Li fai tu tutti i conti?

Non è meglio, invece, usare Wolfram Alpha o chi per lui per controllare che la funzione da te trovata soddisfi il problema di Cauchy assegnato? Basta chiedergli di calcolare la derivata di \(y(x)\), di uguagliarla a \(\frac{1}{x^2-1}\cdot\sqrt{y(x)-1}\) e di vedere se coincidono. Così avrai la certezza assoluta di non avere sbagliato.

[nunziox]

Dissonance ho fatto come hai detto tu:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-4%2Blog%28%281-x%29%2F%281%2Bx%29%29%29%2F%284+%28-1%2Bx%5E2%29%29%3D1%2F%28x%5E2-1%29*sqrt%28y-1%29

mi sembra che dice che sono uguali.

Solo che non capisco perchè dalla precedente ottengo
$2sqrt(y-1)=1/2log((1-x)/(x+1))+c$
$c=2$

e dalla successiva isolando la y

$c=+-1$

il più ampio intervallo in cui è def la soluzione è $(-1;1)$?