Problema di Cauchy (senza calcoli)
Salve, il libro mi chiede:
"Risolvere il seguente problema di Cauchy:
$\{(u'' + 13u'-104u=0), (u(0) = 0), (u'(0)=0):}$
È necessario fare calcoli?"
Ora, potrei affrontarlo analiticamente e risolverlo, ma mi sto soffermando sulla domanda finale.
Come posso arrivare alla soluzione senza fare calcoli?
Grazie a chi mi può illuminare!
"Risolvere il seguente problema di Cauchy:
$\{(u'' + 13u'-104u=0), (u(0) = 0), (u'(0)=0):}$
È necessario fare calcoli?"
Ora, potrei affrontarlo analiticamente e risolverlo, ma mi sto soffermando sulla domanda finale.
Come posso arrivare alla soluzione senza fare calcoli?
Grazie a chi mi può illuminare!
Risposte
Ci provo...
Se le radici della caratteristica
$z^2+13z-104=0$
sono reali e distinte (ed è visibilmente il nostro caso) la soluzione della eq. diff. omogenea del 2 ordine è del tipo
$y = c_1 e^(a_1 x) + c_2 e^ (a_2x)$
dove $a_1$ e $a_2$ sono le soluzioni della caratteristica e $c_1$ e $c_2$ le due costanti da determinare
Ma allora
$y'=a_1 c_1 e^(a_1 x) + a_2 c_2 e^ (a_2x)$
Ora con le tue condizioni iniziali abbiamo
$y(0)=c_1+c_2=0$ cioè $c_1=-c_2$
$y'(0)=a_1c_1+a_2c_2=-a_1c_2+a_2c_2=c_2(a_2-a_1)=0$
Ma noi sappiamo qual è la differenza tra $a_2$ e $a_1$... non è certo nulla.. (dovrebbe essere nel nostro caso $3sqrt65$)
La differenza tra le due radici distinte non è zero...
allora $c_2(a_2-a_1)=0$ implica che $c_2=-c_1=0$
ma allora abbiamo
$y(x)=0$
spero di aver detto giusto
In definitiva possiamo dire che se le soluzioni della caratteristica sono reali e distinte e se le condizioni al contorno sono del tipo da te descritto la funzione di partenza non può che essere la funzione nulla... quindi NON è necessario fare calcoli
ciao!
Se le radici della caratteristica
$z^2+13z-104=0$
sono reali e distinte (ed è visibilmente il nostro caso) la soluzione della eq. diff. omogenea del 2 ordine è del tipo
$y = c_1 e^(a_1 x) + c_2 e^ (a_2x)$
dove $a_1$ e $a_2$ sono le soluzioni della caratteristica e $c_1$ e $c_2$ le due costanti da determinare
Ma allora
$y'=a_1 c_1 e^(a_1 x) + a_2 c_2 e^ (a_2x)$
Ora con le tue condizioni iniziali abbiamo
$y(0)=c_1+c_2=0$ cioè $c_1=-c_2$
$y'(0)=a_1c_1+a_2c_2=-a_1c_2+a_2c_2=c_2(a_2-a_1)=0$
Ma noi sappiamo qual è la differenza tra $a_2$ e $a_1$... non è certo nulla.. (dovrebbe essere nel nostro caso $3sqrt65$)
La differenza tra le due radici distinte non è zero...
allora $c_2(a_2-a_1)=0$ implica che $c_2=-c_1=0$
ma allora abbiamo
$y(x)=0$
spero di aver detto giusto
In definitiva possiamo dire che se le soluzioni della caratteristica sono reali e distinte e se le condizioni al contorno sono del tipo da te descritto la funzione di partenza non può che essere la funzione nulla... quindi NON è necessario fare calcoli
ciao!
Più semplicemente:
l'equazione è lineare a coefficienti costanti; dalla teoria generale per le equazioni differenziali lineari, sappiamo che i problemi di Cauchy ad essa associati ammettono un'unica soluzione globale.
D'altra parte, si verifica immediatamente che la funzione identicamente nulla è soluzione (dal momento che l'equazione è omogenea); per l'unicità, non ce ne possono essere altre.
l'equazione è lineare a coefficienti costanti; dalla teoria generale per le equazioni differenziali lineari, sappiamo che i problemi di Cauchy ad essa associati ammettono un'unica soluzione globale.
D'altra parte, si verifica immediatamente che la funzione identicamente nulla è soluzione (dal momento che l'equazione è omogenea); per l'unicità, non ce ne possono essere altre.
molto chiari entrambi!
grazie a mazzarri per avermi fatto visualizzare concretamente la soluzione, e grazie a Rigel per l'approccio più teorico...
grazie a mazzarri per avermi fatto visualizzare concretamente la soluzione, e grazie a Rigel per l'approccio più teorico...
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