Problema di Cauchy secondo ordine
Ciao a tutti. Sto provando a risolvere tale esercizio ma non so come fare.
$ { ( y''-9y=1/(1+e^x) ),( y(0)=1 ),( y'(0)=1 ):} $
Fino ad ora ho sempre risolto le equazioni del primo ordine e non ho trovato difficoltà. Ma qui come la devo risolvere??
$ { ( y''-9y=1/(1+e^x) ),( y(0)=1 ),( y'(0)=1 ):} $
Fino ad ora ho sempre risolto le equazioni del primo ordine e non ho trovato difficoltà. Ma qui come la devo risolvere??
Risposte
nessuno può aiutarmi?
Puoi cominciare trovandoti l'integrale generale..
Allora l'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea associata dovrebbe essere, essendo le due radici $lambda_1=3$ , $lambda_2=-3$:
$y(x)=c_1e^(3x) + c_2e^(-3x)$
Fin qui non credo di avere problemi.. Il nodo principale è il dopo!!
$y(x)=c_1e^(3x) + c_2e^(-3x)$
Fin qui non credo di avere problemi.. Il nodo principale è il dopo!!
"Raffo17":
Allora l'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea associata dovrebbe essere, essendo le due radici $lambda_1=3$ , $lambda_2=-3$:
$y(x)=c_1e^(3x) + c_2e^(-3x)$
Fin qui non credo di avere problemi.. Il nodo principale è il dopo!!
prova con il metodo della variazione delle costanti
Potresti gentilmente illustrarmelo? Almeno l'impostazione generale.. te ne sarei molto grato!
"Raffo17":
Potresti gentilmente illustrarmelo? Almeno l'impostazione generale.. te ne sarei molto grato!
dai un occhiata su wikipedia
[mod="dissonance"]@Raffo: Su questo forum non sono ammesse sollecitazioni di tipo "UP" prima di 24 ore dall'ultimo post. Tu ne hai fatta una dopo molto meno. Consulta https://www.matematicamente.it/forum/su- ... 41906.html per favore, grazie.[/mod]
Allora se ho capito bene dovrei derivare due volte l'integrale generale e poi sostituire i risultati nell'equazione originaria giusto?
In questo caso però posso sostiuire solo la derivata seconda dal momento che non è presente la prima giusto fin qui?
praticamente dovrei ottenere:
$y'= c'_1e^(3x) +c'_2e^(-3x) +c_1 3e^(3x)-c_2 3e^(-3x)$
ponendo poi $c'_1e^(3x) +c'_2e^(-3x)=0$
ottengo
$y''= c'_1 3e^(3x) -c'_2 3e^(-3x) +c_1 9e^(-3x) +c_2 9e^(3x)$
sostituendo nella prima equazione ottengo poi:
$ c'_1 3e^(3x) -c'_2 3e^(-3x) +c_1 9e^(-3x) +c_2 9e^(3x) -c_1 9e^(-3x) -c_2 9e^(3x)=1/(1+e^(3x)) $ cioè
$ c'_1 3e^(3x) -c'_2 3e^(-3x)=1/(1+e^(3x)) $
devo poi risolvere il sistema
$ { ( c'_1e^(3x) +c'_2e^(-3x)=0 ),( c'_1 3e^(3x) -c'_2 3e^(-3x)=1/(1+e^(3x)) ):} $
da cui ricavo:
$c'_1=1/(2e^(3x)(1+e^(3x))$ ; $c'_2=-(1/(2e^(3x)(1+e^(3x))))$
infine integrando i due valori dovrei ottenere:
$c_1=1/6 (log(e^(-3 x)+1)-e^(-3 x))$ $c_2=1/6 (e^(-3 x)-log(e^(-3 x)+1))$
adesso?
EDIT:
Scusa dissonance l'ho fatto senza pensarci.. Vedrò di non commettere lo stesso errore un'altra volta!
In questo caso però posso sostiuire solo la derivata seconda dal momento che non è presente la prima giusto fin qui?
praticamente dovrei ottenere:
$y'= c'_1e^(3x) +c'_2e^(-3x) +c_1 3e^(3x)-c_2 3e^(-3x)$
ponendo poi $c'_1e^(3x) +c'_2e^(-3x)=0$
ottengo
$y''= c'_1 3e^(3x) -c'_2 3e^(-3x) +c_1 9e^(-3x) +c_2 9e^(3x)$
sostituendo nella prima equazione ottengo poi:
$ c'_1 3e^(3x) -c'_2 3e^(-3x) +c_1 9e^(-3x) +c_2 9e^(3x) -c_1 9e^(-3x) -c_2 9e^(3x)=1/(1+e^(3x)) $ cioè
$ c'_1 3e^(3x) -c'_2 3e^(-3x)=1/(1+e^(3x)) $
devo poi risolvere il sistema
$ { ( c'_1e^(3x) +c'_2e^(-3x)=0 ),( c'_1 3e^(3x) -c'_2 3e^(-3x)=1/(1+e^(3x)) ):} $
da cui ricavo:
$c'_1=1/(2e^(3x)(1+e^(3x))$ ; $c'_2=-(1/(2e^(3x)(1+e^(3x))))$
infine integrando i due valori dovrei ottenere:
$c_1=1/6 (log(e^(-3 x)+1)-e^(-3 x))$ $c_2=1/6 (e^(-3 x)-log(e^(-3 x)+1))$
adesso?
EDIT:
Scusa dissonance l'ho fatto senza pensarci.. Vedrò di non commettere lo stesso errore un'altra volta!
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