Problema di Cauchy prolungamento delle soluzioni
Salve ragazzi vorrei un chiarimento rispetto al teorema di Cauchy, nel dettaglio per il prolungamento delle soluzioni.
Le ipotesi del teorema di unicità locale partono delle condizioni iniziali: Sia f continua e lip in $D$ aperto di $RR^(n+1)$ allora per ogni coppia $(tau, xi)$ in $D$ esiste ed è unica la soluzione al problema di Cauchy nell'intervallo $[tau+delta, tau-delta]$.
Il problema del prolungamento parte dal concetto che presi dati iniziali del tipo $(tau_1, xi_1)=(tau+delta,phi(tau+delta))$ allora esisterà un intervallo $I_(delta_1)=(tau_1-delta_1,tau_1+delta_1)$ su cui c'è un unica soluzione. Ora dato che $phi=phi_1$ in $I_deltannnI_(delta_1)$ allora la soluzione sarà unica in nell'unione.
Problema che vi pongo. Poichè tutto parte dai dati iniziali, chi mi dice che $phi=phi_1$ dato che le condizioni iniziali sono di poco diverse?
Cioè la prima la trovo rispetto a $(tau,xi)$ e $(tau_1,xi_1)$.
Forse ho un problema nell'interpretare le ipotesi.grazie a presto.
Le ipotesi del teorema di unicità locale partono delle condizioni iniziali: Sia f continua e lip in $D$ aperto di $RR^(n+1)$ allora per ogni coppia $(tau, xi)$ in $D$ esiste ed è unica la soluzione al problema di Cauchy nell'intervallo $[tau+delta, tau-delta]$.
Il problema del prolungamento parte dal concetto che presi dati iniziali del tipo $(tau_1, xi_1)=(tau+delta,phi(tau+delta))$ allora esisterà un intervallo $I_(delta_1)=(tau_1-delta_1,tau_1+delta_1)$ su cui c'è un unica soluzione. Ora dato che $phi=phi_1$ in $I_deltannnI_(delta_1)$ allora la soluzione sarà unica in nell'unione.
Problema che vi pongo. Poichè tutto parte dai dati iniziali, chi mi dice che $phi=phi_1$ dato che le condizioni iniziali sono di poco diverse?
Cioè la prima la trovo rispetto a $(tau,xi)$ e $(tau_1,xi_1)$.
Forse ho un problema nell'interpretare le ipotesi.grazie a presto.
Risposte
"squalllionheart":
Salve ragazzi vorrei un chiarimento rispetto al teorema di Cauchy, nel dettaglio per il prolungamento delle soluzioni.
Le ipotesi del teorema di unicità locale partono delle condizioni iniziali: Sia f continua e lip in $D$ aperto di $RR^(n+1)$ allora per ogni coppia $(tau, xi)$ in $D$ esiste ed è unica la soluzione al problema di Cauchy nell'intervallo $[tau+delta, tau-delta]$.
Il problema del prolungamento parte dal concetto che presi dati iniziali del tipo $(tau_1, xi_1)=(tau+delta,phi(tau+delta))$ allora esisterà un intervallo $I_(delta_1)=(tau_1-delta_1,tau_1+delta_1)$ su cui c'è un unica soluzione. Ora dato che $phi=phi_1$ in $I_deltannnI_(delta_1)$ allora la soluzione sarà unica in nell'unione.
Problema che vi pongo. Poichè tutto parte dai dati iniziali, chi mi dice che $phi=phi_1$ dato che le condizioni iniziali sono di poco diverse?
Cioè la prima la trovo rispetto a $(tau,xi)$ e $(tau_1,xi_1)$.
Forse ho un problema nell'interpretare le ipotesi.grazie a presto.
Perché $\tau_1\in I_\delta\cap I_{delta_1}$ e $\phi(\tau_1)=\xi_1=\phi_1(\tau_1)$ - dunque $\phi$ e $\phi_1$ verivicano le stesse condizioni iniziali (in $\tau_1$).
Scusami ma $tau_1$ è diverso rispetto a $tau$. O interpreto che la soluzione è unica in $I_deltannnI_(delta_1)$ a prescindere dal fatto che le condizioni iniziali sono diverse.Forse è questo il punto: ogni intervallo $I_delta$ definisce un unica soluzione al di la delle condizioni iniziali?
"squalllionheart":
Scusami ma $tau_1$ è diverso rispetto a $tau$. O interpreto che la soluzione è unica in $I_deltannnI_(delta_1)$ a prescindere dal fatto che le condizioni iniziali sono diverse.Forse è questo il punto: ogni intervallo $I_delta$ definisce un unica soluzione al di la delle condizioni iniziali?
$\tau$ non c'entra più, dato che non sta nemmeno in $I_\delta\cap I_{\delta_1}$ - tu devi sfruttare il teorema di unicità con punto iniziale $\tau_1$.
EDIT
Ripercorriamo il ragionamento. Si parte da $(\tau,\xi)$ e si costruisce una soluzione $\phi$ definita in un intorno $I_\delta$ di $\tau$. Si prende un $\tau_1$ in $I_\delta$ (per esempio $\tau_1>\tau$)
e "si riparte" da $\tau_1$ trovando una $\phi_1$, definita in $I_{\delta_1}$, che risolve l'equazione con dato iniziale $(\tau_1,\xi_1)$ dove $\xi_1=\phi(\tau_1)$. L'idea è di incollare $\phi$ e $\phi_1$ - per questo serve sapere
che $\phi$ e $\phi_1$ coincidono dove sono definite entrambe. CERTAMENTE ESSE COINCIDONO , per costruzione, in $\tau_1$ - per il teorema di unicità (usato, come dicevo prima, vicino a $\tau_1$)
esse coincidono in $I_\delta\cap I_{\delta_1}$ (nota che potrenne anche essere $I_{\delta_1}\subset I_\delta$). Da qui si fa il sup ...
Il fatto che coincidono lo ricavo dal fatto che $tau_1$ è un punto dentro $I_delta$ per questo? Se avessi preso $tau_1$ fuori da $I_delta$ nn avrei più potuto applicare il ragionamento? $phi=phi_1$ necessariamente nell'intersezione? NN capisco se se la soluzione è unica per i dati iniziali o per l'intervallo $I_delta$. Grazie pper la disponibilità
"squalllionheart":
Il fatto che coincidono lo ricavo dal fatto che $tau_1$ è un punto dentro $I_delta$ per questo? Se avessi preso $tau_1$ fuori da $I_delta$ nn avrei più potuto applicare il ragionamento? $phi=phi_1$ necessariamente nell'intersezione? NN capisco se se la soluzione è unica per i dati iniziali o per l'intervallo $I_delta$. Grazie pper la disponibilità
Se prendi $\tau_1$ fuori da $I_delta$ il resto non ha più senso (chi è $\phi(\tau_1)$ ?).
Il filo del ragionamento è che si parte da $\tau$ e si segue la soluzione $\phi(t)$ fino a dove è possibile.
Una volta che hai dimostrato che $\phi=\phi_1$ dentro $I_\delta\cap _{\delta_1}$ allora hai una soluzione $\phi_2$ (??) definita su $I_{\delta}\cup I_{\delta_1}$
($\phi_2=\phi$ su $I_\delta$, $\phi_2=\phi_1$ su $I_{\delta_1}$) che in $\tau$ vale $\xi$.
ok.Grazie.La dimostrazione è breve ma è sottile. A presto.
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