Problema di Cauchy particolare

[Bandit1]

Consideriamo questo problema di couchy:
y''-2y'+2y= cosx*e^x

la radice dell' omogeneo associato mi viene 1+o-i, l'equazione data quale tipo di integrale particolare ammette?

Spero nel vostro aiuto, e vi ringrazio anticipatamente.

[Camillo]

In questo caso come integrale particolare cerca una funzione del tipo : x*e^x [Acosx +Bsinx ], in quanto 1+-i è radice singola del polinomio caratteristico .
Chiaramente la soluzione particolare del tipo : e^x[Acosx+Bsinx] non andrebbe bene in quanto non sarebbe linearmente indipendente dalla soluzione dell'omogenea associata , anzi sarebbe uguale, a parti coefficienti moltiplicativi.
Camillo

[Bandit1]

quale è il polinomio caratteristico?cosx*e^x? se è così io lo chiamo solo polinomio.

1+-i mica è esponente del e^x ?o è da considerarsi tale?
ciao

[Camillo]

Il polinomio caratteristico dell'equazione differenziale omogenea è :
k^2-2k+2 e quindi l'equazione caratteristica è :
k^2-2k+2 = 0 che ha radici :
1+i, 1-i e sono queste che generano le soluzioni (e^x)(Acosx+Bsinx).

Infatti e^(1+i),e^(1-i) possono essere proprio scritte come :

(e^x)(Acosx+Bsinx) , basta che ricordi le formule di Eulero
e^(ix) = cosx +isinx etc.

Camillo

[Camillo]

Segnalo questo sito :

http://web.mate.polimi.it/servizi/websp ... ifflin.pdf

che dà un panorama completo per la ricerca delle soluzioni particolari di una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti.


Camillo

Per Bandit : Problema di Cauchy ( correggi il subject)

[Bandit1]

ti posso chiedere per sicurezza anche questo?
y''+t^2y= cosx

k^2=-t^2
viene Y= Asenx+Bcosx ?

[Marvin1]

si,secondo me si.
per il Cosx e Sinx la somiglianza del polinomio è standard

cmq Camillo molto utile il documento..se li facessero anche i miei prof

Marvin

[Camillo]

La soluzione generale dell'omogenea associata sarà :
Asen(tx)+Bcos(tx).
La soluzione particolare sarà , se t diverso da 1 : Asenx+Bcosx
se invece t = 1 si avrà : x(Asenx+Bcosx), vedi il link già segnalato.

Camillo

[Bandit1]

come mai si inserisce t nella parentesi? cioè ogni qual volta che c'è un parametro immaginario in queste condizioni, si Asen(tx)+Bcos(tx).

[Camillo]

Le radici non sono +-i ( se cosi fosse avresti: Asinx+Bcosx), ma invece : +-it e quindi : Asin(tx)+Bcos(tx).
Se le radici fossero state ad es. +-3i la soluzione sarebbe stata:
Asin(3x) +Bcos(3x) . OK ?


Camillo

[Bandit1]

ok grazie

[Bandit1]

ma è indifferente mettere prima o dopo il seno o il coseno? sia nella soluzione generale che particolare?

[Bandit1]

altra cosa se le soluzioni fossero state 2+-3i a soluzione sarebbe stata:
2Asin(3x) +2Bcos(3x) . OK ?

[Camillo]

Se le radici complesse coniugate dell'equazione caratteristica sono ad es. : a+ib,a-ib , allora la soluzione è :
e^a*(Acos(bx)+Bsin(bx)).
La parte reale della soluzione " produce" la funzione e^ax, mentre la parte complessa +-ib ^produce cos(bx) e sin(bx) .
Nel caso che indichi tu , 2+-3i le soluzioni sono :

e^(2x)*(Asin(3x)+Bcos(3x))


Camillo

[Bandit1]

quote:

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Originally posted by camillo

Se le radici complesse coniugate dell'equazione caratteristica sono ad es. : a+ib,a-ib , allora la soluzione è :
e^a*(Acos(bx)+Bsin(bx)
La parte reale della soluzione " produce" la funzione e^ax, mentre la parte complessa +-ib ^produce cos(bx) e sin(bx) .
Nel caso che indichi tu , 2+-3i le soluzioni sono :

e^(2x)*(Asin(3x)+Bcos(3x))


Camillo


ok e per l'altra domanda?è indifferente la cosa?

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[Camillo]

Certamente è indifferente mettere prima cos o sin , cosa cambia ? nulla

Camillo