Problema di Cauchy, metodo di Frobenius e definizione per ricorrenza

[impe1]

Ciao, vi propongo il seguente problema di Cauchy:

$ { ( y''+y=0 ),( y(0)=alpha in RR ),( y'(0)=beta in RR ):} $

C'è un passaggio di alcune slide che non capisco.

Per risolvere il problema con un determinato metodo (chiamato di Frobenius), viene scritto:

$y(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+ ...+ a_nx^n + a_(n+1)x^(n+1)+ ...$

$y'(x)=a_1+2a_2x+ ...+ na_nx^(n-1) + (n+1)a_(n+1)x^(n)+ ...$

$y''(x)=2a_2+ ...+ (n-1)na_nx^(n-2) + (n)(n+1)a_(n+1)x^(n-1)+ ...$

Scritto ciò, vengono sostituite le espressioni di $y''$ e di $y$ nella prima equazione del sistema.

$y''+y= (2a_2+a_0)+...+ (n+1)(n+2)a_(n+2)x^n +...$

Fino a qua tutto chiaro.

Da qui cominciano i problemi. Riporto il testo delle slides.

"Avendo fatto la sostituzione nella prima equazione del sistema, ponendo i coefficienti uguali a zero si ottiene

$a_2= -a_0/2$

$a_(n+2)= -1/((n+1)(n+2)) a_n$

..."

Domanda 1:

Non capisco come mai viene riportato solamente

$a_(n+2)= -1/((n+1)(n+2)) a_n$

, ovvero il coefficiente che moltiplica $x^n$ nella e.d.o. del problema di Cauchy (dopo che è stata fatta la sostituzione). A quale scopo? Perché è così importante riportare solo questo coefficiente e basarsi su questo successivamente? (vedi domanda 2)

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Il testo prosegue dicendo:

"...e tenendo conto delle condizioni iniziali si ha

$a_0=alpha$

$a_1=beta$

da cui, per ricorrenza

$a_(2n)=(-1)^n /((2n)!) alpha$

$a_(2n+1)= (-1)^n/((n+1)(n+2)) beta$"

Domanda 2:

In che modo ricava $a_(2n)$ e $a_(2n+1)$ ?

[pilloeffe]

Ciao impe,

Potresti dare un'occhiata ad esempio qui, in particolare all'esempio 6.4 a pagina 8.