Problema di Cauchy lineare del secondo ordine a coeff. costanti
Sto risolvendo il problema di Cauchy seguente:
\[
\begin{cases}
y''(t) - 4y'(t) + 8y(t) = e^{-2t} \\
y(0) = -1 \\
y'(0) = 0
\end{cases}
\]
Scrivo il polinomio caratteristico P \left( \lambda \right) dell'equazione differenziale omogenea:
\[ P \left( \lambda \right) = \lambda^2 - 4\lambda + 8 \]
trovandone due radici complesse:
\[
\lambda_1 = 2 + 2i \qquad \lambda_2 = 2 - 2i
\]
pertanto le soluzioni dell'omogenea associata sono date da:
\[
y(t) = c_1 e^{2t} \cos \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} \sin \left( 2t \right)
\]
dove si nota che $ e^{-2t} $ non è in alcun modo presente.
Cerchiamo una soluzione della non omogenea nella forma $ y(t) = Ae^{-2t} $. L'equazione differenziale allora diventa:
\[
4Ae^{-2t} - 4 \left( -2Ae^{-2t} \right) + 8 \left( Ae^{-2t}\right) = e^{-2t} \leadsto 4A + 8A + 8A = 1 \leadsto A = \frac{1}{20}
\]
L'insieme delle soluzioni dell'equazione differenziale è data dunque da:
\[
y(t) = c_1 e^{2t} \cos \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} \sin \left( 2t \right) + \frac{1}{20} e^{-2t}
\]
Per imporre le condizioni iniziali del problema di Cauchy, è necessario prima calcolare la derivata prima di $ y(t) $.
\[
y'(t) = 2c_1 e^{2t} \cdot \cos \left( 2t \right) + c_1 e^{2t} \left( -2 \sin \left( 2t \right) \right) + 2c_2 e^{2t} e^{2t} \cdot \sin \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} 2 \cos \left( 2t \right) - \frac{1}{10e^{2t}}
\]
da cui ottengo, calcolando $ y(0) $ e $ y'(0) $ e ponendo le rispettive condizioni iniziali:
\[
\begin{cases}
2c_1 + 2c_2 - \frac{1}{10} = 0 \\
c_1 + \frac{1}{20} = -1
\end{cases}
\leadsto
\begin{cases}
c_1 = -\frac{21}{20} \\
c_2 = \frac{11}{10}
\end{cases}
\]
Penso di aver sbagliato qualcosa, ma non riesco a trovare l'inghippo. Potete aiutarmi?
\[
\begin{cases}
y''(t) - 4y'(t) + 8y(t) = e^{-2t} \\
y(0) = -1 \\
y'(0) = 0
\end{cases}
\]
Scrivo il polinomio caratteristico P \left( \lambda \right) dell'equazione differenziale omogenea:
\[ P \left( \lambda \right) = \lambda^2 - 4\lambda + 8 \]
trovandone due radici complesse:
\[
\lambda_1 = 2 + 2i \qquad \lambda_2 = 2 - 2i
\]
pertanto le soluzioni dell'omogenea associata sono date da:
\[
y(t) = c_1 e^{2t} \cos \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} \sin \left( 2t \right)
\]
dove si nota che $ e^{-2t} $ non è in alcun modo presente.
Cerchiamo una soluzione della non omogenea nella forma $ y(t) = Ae^{-2t} $. L'equazione differenziale allora diventa:
\[
4Ae^{-2t} - 4 \left( -2Ae^{-2t} \right) + 8 \left( Ae^{-2t}\right) = e^{-2t} \leadsto 4A + 8A + 8A = 1 \leadsto A = \frac{1}{20}
\]
L'insieme delle soluzioni dell'equazione differenziale è data dunque da:
\[
y(t) = c_1 e^{2t} \cos \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} \sin \left( 2t \right) + \frac{1}{20} e^{-2t}
\]
Per imporre le condizioni iniziali del problema di Cauchy, è necessario prima calcolare la derivata prima di $ y(t) $.
\[
y'(t) = 2c_1 e^{2t} \cdot \cos \left( 2t \right) + c_1 e^{2t} \left( -2 \sin \left( 2t \right) \right) + 2c_2 e^{2t} e^{2t} \cdot \sin \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} 2 \cos \left( 2t \right) - \frac{1}{10e^{2t}}
\]
da cui ottengo, calcolando $ y(0) $ e $ y'(0) $ e ponendo le rispettive condizioni iniziali:
\[
\begin{cases}
2c_1 + 2c_2 - \frac{1}{10} = 0 \\
c_1 + \frac{1}{20} = -1
\end{cases}
\leadsto
\begin{cases}
c_1 = -\frac{21}{20} \\
c_2 = \frac{11}{10}
\end{cases}
\]
Penso di aver sbagliato qualcosa, ma non riesco a trovare l'inghippo. Potete aiutarmi?
Risposte
"ncant":
\[ P \left( \lambda \right) = \lambda^2 - 2\lambda - 8 \]
trovandone due radici complesse:
\[
\lambda_1 = 2 + 2i \qquad \lambda_2 = 2 - 2i
\]
$4^2-2*4-8=$?
$(-2)^2-2*(-2)-8=$?
No, aspe! Ho copiato il polinomio caratteristico di un'altra equazione differenziale (ho molti fogli sulla scrivania), però le radici sono giuste. Modifico il messaggio con il polinomio corretto
Ciao ncant,
Se proprio vuoi far comparire $e^{-2t} $ a me risulta che il PdC proposto abbia la soluzione seguente:
$ y(t) = 1/20 e^(-2 t) (22 e^(4 t) sin(2 t) - 21 e^(4 t) cos(2 t) + 1) $
Se proprio vuoi far comparire $e^{-2t} $ a me risulta che il PdC proposto abbia la soluzione seguente:
$ y(t) = 1/20 e^(-2 t) (22 e^(4 t) sin(2 t) - 21 e^(4 t) cos(2 t) + 1) $
"pilloeffe":
Ciao ncant,
Se proprio vuoi far comparire $e^{-2t} $ a me risulta che il PdC proposto abbia la soluzione seguente:
$ y(t) = 1/20 e^(-2 t) (22 e^(4 t) sin(2 t) - 21 e^(4 t) cos(2 t) + 1) $
...se sostituisco $ c_1 $ e $ c_2 $ nella soluzione dell'equazione differenziale ottenuta, ho:
\[ y(t) = - \frac{21}{20} e^{2t} \cos \left( 2t \right) + \frac{11}{10} e^{2t} \sin \left( 2t \right) + \frac{1}{20} e^{-2t} = \frac{1}{20} e^{-2 t} \left(22 e^{4 t} \sin(2 t) - 21 e^{4 t} \cos(2 t) + 1 \right) \]
...che è la stessa identica cosa.
Ohibò, il dubbio mio iniziale era dato dalla seguente soluzione proposta dal mio Prof:
occhio ai segni della soluzione del problema. Si nota qualcosa?
Pare che stavolta sono innocente
Dai c'è solo un errore di segno, quanto sei pignolo... 
L'avessi fatto io all'esame mi avrebbero tolto tanti di quei punti!
Teoria: l'errore si è verificato grazie ad un copia e incolla in
[size=200]\[
\LaTeX
\][/size]
Teoria: l'errore si è verificato grazie ad un copia e incolla in
[size=200]\[
\LaTeX
\][/size]
Certo, ma lui è il prof...
Comunque anche i professori sono esseri umani ed in quanto tali possono sbagliare, come tutti.
Magari faglielo notare, così gli fai vedere che ti sei cimentato e ti fai notare...
Comunque anche i professori sono esseri umani ed in quanto tali possono sbagliare, come tutti.
Magari faglielo notare, così gli fai vedere che ti sei cimentato e ti fai notare...
"pilloeffe":
Magari faglielo notare, così gli fai vedere che ti sei cimentato e ti fai notare...
Mah, glielo segnalo solo per correttezza. Non credo nel leccaculismo: pratica che ho visto fin da questo primo anno essere praticata, ma che ha risvolti molto negativi. Farsi vedere belli perché hai saputo trovare un errore da parte del docente è inutile.
L'unico modo per farsi notare è essere meglio degli altri, quindi tocca a stare con la capoccia china sul libro e muti. Puoi chiedere aiuto (wink wink), ma non esistono scorciatoie (mi riferisco specialmente alle dispense messe a disposizione dagli studenti, che poco mi hanno aiutato, dato che i loro ragionamenti non sono i miei ragionamenti).
Meritocrazia, baby
Aspetta, non vorrei essere frainteso: non si tratta di "leccaculismo" (cosa che è proprio contraria alla mia natura e che anch'io ho visto esercitare ai miei tempi, ma in diversi modi e forme...), però visto che l'hai trovato è chiaro che ti sei cimentato nella lettura delle sue dispense, e questo tipicamente ai docenti non dispiace. Poi è chiaro che devi studiare comunque, non è che questo ti esenta dal prepararti come si deve. Dipende anche dal carattere del docente, ma di solito quelli più intelligenti apprezzano che gli si segnalino gli errori nei loro scritti: qualche volta lo scrivono pure nella prefazione delle loro dispense con locuzioni del tipo "Eventuali errori sono responsabilità dello scrivente e ne è gradita la segnalazione". Personalmente ne ho segnalati diversi anche su libri di testo senza alcun tornaconto personale e mi hanno sempre ringraziato...
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