Problema di Cauchy insolito
Sia $\tilde{y}$ : $RRto]-1,1[$ la soluzione al problema di Cauchy:
$y'=7(1-y^2)$, $y(0)=0$
calcolare limite $\lim_{x \to \+infty} \tilde{y}(x)$
Qualcuno può spiegarmi come affrontare questo problema?
E' la prima volta che vedo un problema in un intorno limitato, non ho capito come affrontarlo e soprattutto non ho capito cosa significa la y con ~ sopra
$y'=7(1-y^2)$, $y(0)=0$
calcolare limite $\lim_{x \to \+infty} \tilde{y}(x)$
Qualcuno può spiegarmi come affrontare questo problema?
E' la prima volta che vedo un problema in un intorno limitato, non ho capito come affrontarlo e soprattutto non ho capito cosa significa la y con ~ sopra
Risposte
Ciao Anacleto13,
Credo che tu abbia scritto male, e che la scrittura corretta sia $\tilde y$, che sta solo ad indicare la particolare soluzione del problema di Cauchy che hai proposto. Infatti l'equazione differenziale $y' = 7(1 - y^2)$ in generale ha la soluzione seguente:
$y(x) = frac{e^{14x} - e^{2c_1}}{e^{14x} + e^{2c_1}}$
Imponendo la condizione $y(0) = 0$, puoi determinare la costante $c_1$:
$0 = y(0) = frac{e^{0} - e^{2c_1}}{e^{0} + e^{2c_1}} = frac{1 - e^{2c_1}}{1 + e^{2c_1}} \implies c_1 = 0$
Quindi:
$\tilde y(x) = frac{e^{14x} - 1}{e^{14x} + 1}$
A questo punto ciò che ti viene richiesto è il calcolo del limite seguente:
$lim_{x \to +\infty} \tilde y(x) = 1$
Credo che tu abbia scritto male, e che la scrittura corretta sia $\tilde y$, che sta solo ad indicare la particolare soluzione del problema di Cauchy che hai proposto. Infatti l'equazione differenziale $y' = 7(1 - y^2)$ in generale ha la soluzione seguente:
$y(x) = frac{e^{14x} - e^{2c_1}}{e^{14x} + e^{2c_1}}$
Imponendo la condizione $y(0) = 0$, puoi determinare la costante $c_1$:
$0 = y(0) = frac{e^{0} - e^{2c_1}}{e^{0} + e^{2c_1}} = frac{1 - e^{2c_1}}{1 + e^{2c_1}} \implies c_1 = 0$
Quindi:
$\tilde y(x) = frac{e^{14x} - 1}{e^{14x} + 1}$
A questo punto ciò che ti viene richiesto è il calcolo del limite seguente:
$lim_{x \to +\infty} \tilde y(x) = 1$
Ok grazie pilloeffe, si in effetti era $tilde y$ solo che non sapevo come scriverlo..
Ma quindi l'intervallo cosa cambia ai fini della risoluzione?
Ma quindi l'intervallo cosa cambia ai fini della risoluzione?
Di niente...
Beh, ti dice semplicemente che la funzione $\tilde y(x)$ ha dominio $D = \RR$ e codominio $C = (-1, 1)$, che è vero...
Beh, ti dice semplicemente che la funzione $\tilde y(x)$ ha dominio $D = \RR$ e codominio $C = (-1, 1)$, che è vero...
Siccome non è richiesto il calcolo della soluzione (strada comunque percorribile) puoi affrontare l'esercizio in modo qualitativo. Le funzioni $y(x) \equiv \pm 1$ sono soluzioni costanti dell'equazione differenziale in esame.
La soluzione $\tilde{y}$ è "ingabbiata" tra le due soluzioni costanti e quindi è prolungabile fino all'infinito. Inoltre $\tilde{y}$ è monotona strettamente crescente, quindi esiste
\[ \lim_{x \to + \infty} \tilde{y}(x) = l \in [0,1] .\]
Se per assurdo $l < 1$, sfruttando il teorema di Lagrange nell'intervallo $[0, x]$ avresti che
\[ y(x) - y(0) = y'(\xi) x \]
ovvero
\[ y(x) = 7 (1 - y(\xi)^2 ) x \ge 7 ( 1 - l^2) x . \]
Prendendo il limite per $x \to + \infty$, osservato che $1 - l^2 > 0$, risulterebbe $y(x) \to + \infty$ (contraddizione). Allora deve essere $l = 1$.
La soluzione $\tilde{y}$ è "ingabbiata" tra le due soluzioni costanti e quindi è prolungabile fino all'infinito. Inoltre $\tilde{y}$ è monotona strettamente crescente, quindi esiste
\[ \lim_{x \to + \infty} \tilde{y}(x) = l \in [0,1] .\]
Se per assurdo $l < 1$, sfruttando il teorema di Lagrange nell'intervallo $[0, x]$ avresti che
\[ y(x) - y(0) = y'(\xi) x \]
ovvero
\[ y(x) = 7 (1 - y(\xi)^2 ) x \ge 7 ( 1 - l^2) x . \]
Prendendo il limite per $x \to + \infty$, osservato che $1 - l^2 > 0$, risulterebbe $y(x) \to + \infty$ (contraddizione). Allora deve essere $l = 1$.
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