Problema di Cauchy-esistenza e unicità
Ciao a tutti,
Avrei bisogno di risolvere questo esercizio. In parte ci sono riuscito.
Sia dato il seguente problema di Cauchy
$ { ( yy'=2(y^2+1)^2(x+1) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
L'esercizio mi chiedeva di studiare l'esistenza e unicità della soluzione al variare di $x_0$ e $y_0$ in $\mathbb{R}$.
L'equazione differenziale è a variabili separabili e se $y_0\ne 0$ possiamo ricondurre l'equazione differenziale in forma normale.
Sia $g(y)=\frac{2(y^2+1)^2}{y}$ di classe $C^1(\mathbb{R}\setminus\{0\})$ e $f(x)=x+1$ di classe $C^0(\mathbb{R})$.
Allora per ogni $x_0\in\mathbb{R}$ e per ogni $y_0\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ esiste un'unica soluzione in un intorno di $x_0$
Se $x_0\ne -1$ e $y_0=0$ non esiste la soluzione del problema di cauchy perché qualora esistesse dovrebbe soddisfare l'equazione differenziale per ogni punto nell'intorno in cui è definita la soluzione, quindi in particolare in $x_0$. Sostituendo nell'equazione $x=x_0$ arrivo ad un assurdo.
Il caso invece $x_0=-1$ e $y_0=0$ come si fa? Cosa posso dire?
Avrei bisogno di risolvere questo esercizio. In parte ci sono riuscito.
Sia dato il seguente problema di Cauchy
$ { ( yy'=2(y^2+1)^2(x+1) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
L'esercizio mi chiedeva di studiare l'esistenza e unicità della soluzione al variare di $x_0$ e $y_0$ in $\mathbb{R}$.
L'equazione differenziale è a variabili separabili e se $y_0\ne 0$ possiamo ricondurre l'equazione differenziale in forma normale.
Sia $g(y)=\frac{2(y^2+1)^2}{y}$ di classe $C^1(\mathbb{R}\setminus\{0\})$ e $f(x)=x+1$ di classe $C^0(\mathbb{R})$.
Allora per ogni $x_0\in\mathbb{R}$ e per ogni $y_0\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ esiste un'unica soluzione in un intorno di $x_0$
Se $x_0\ne -1$ e $y_0=0$ non esiste la soluzione del problema di cauchy perché qualora esistesse dovrebbe soddisfare l'equazione differenziale per ogni punto nell'intorno in cui è definita la soluzione, quindi in particolare in $x_0$. Sostituendo nell'equazione $x=x_0$ arrivo ad un assurdo.
Il caso invece $x_0=-1$ e $y_0=0$ come si fa? Cosa posso dire?
Risposte
Ho risolto. Grazie lo stesso 
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