Problema di Cauchy - esempio svolgimento esercizio
Ciao a tutti gli utenti del forum. Pubblico questo post nel quale risolvo un semplice PC per capire se quello che faccio va realmente bene (vi prego di capirmi, purtroppo l'insicurezza pochi giorni prima dell'esame è una cosa bruttissima e non aver mai seguito le lezioni non aiuta)
L'esercizio è il seguente:
Trovare almeno due soluzioni massimali distinte del seguente problema di Cauchy:
$ { ( y'=x^2*y^(-3)*root(4)(y^4-1) ),( y(2)=1 ):} $
Da qui in poi c'è quello che ho fatto.
"L'eq. diff. data è del tipo a variabili separabili $y'=X(x)*Y(y)$ , con $X(x)=x^2 : RRrarrRR$
e $Y(y)=y^(-3)*root(4)(y^4-1): [1,+oo[rarrRR$;
una soluzione sarà pertanto del tipo $\phi\(x):(a,b)subeRRrarr[1,+oo[$.
Cerco innanzi tutto una soluzione di tipo costante tale che $Y(\phi(x))=0$; risolvendo l'eq. $Y(y)=0$ si vede che le uniche soluzioni costanti sono $\phi(x)=1:RRrarr{1}$ e $\phi(x)=-1:RRrarr{-1}$; delle due solo la prima è soluzione del PC dato; inoltre essendo definita in RR, essa è una soluzione massimale;
Adesso cerco delle soluzioni non costanti tali che $Y(\phi(x))!=0$ $AAx in(a,b)$
poichè $\phi(x)$ deve essere continua, questo implica che debba essere $\phi(x)>0$ oppure $\phi(x)<0$ $AAx in(a,b)$.
Scelgo di cercare soluzioni positive; integrando trovo
$1/3root(4)((y(x)^4-1)^3)=(x^3)/3+c$; poichè deve essere $(x^3)/3+c>0$ $AAx in(a,b)$, la soluzione deve essere definita in un intervallo $(a,b)sube(-root(3)(k),+oo[$ con $k=3c$;
esplicitando $y(x)$ trovo la funzione cercata:
$\phi(x)=root(4)(root(3)((x^3+k)^4)+1):(-root(3)(k),+oo[rarr(1,+oo[$, che come si vede subito è soluzione;
utilizzando la condizione iniziale trovo $k=-8$, quindi un'altra soluzione del mio PC è
$\phi(x)=root(4)(root(3)((x^3-8)^4)+1):(2,+oo[rarr(1,+oo[$, che non può essere ultierormente prolungata.
Oltre a queste due potrei vedere se esistono soluzioni $\phi(x)$ negative che risolvono il PC quindi cercarne una massimale e/o verificare se le soluzioni di tipo misto risolvono il mio PC e quindi cercarne una massimale."
Ho fatto bene, ho fatto male, suggerimenti?
Grazie in anticipo delle (eventuali) risposte!
L'esercizio è il seguente:
Trovare almeno due soluzioni massimali distinte del seguente problema di Cauchy:
$ { ( y'=x^2*y^(-3)*root(4)(y^4-1) ),( y(2)=1 ):} $
Da qui in poi c'è quello che ho fatto.
"L'eq. diff. data è del tipo a variabili separabili $y'=X(x)*Y(y)$ , con $X(x)=x^2 : RRrarrRR$
e $Y(y)=y^(-3)*root(4)(y^4-1): [1,+oo[rarrRR$;
una soluzione sarà pertanto del tipo $\phi\(x):(a,b)subeRRrarr[1,+oo[$.
Cerco innanzi tutto una soluzione di tipo costante tale che $Y(\phi(x))=0$; risolvendo l'eq. $Y(y)=0$ si vede che le uniche soluzioni costanti sono $\phi(x)=1:RRrarr{1}$ e $\phi(x)=-1:RRrarr{-1}$; delle due solo la prima è soluzione del PC dato; inoltre essendo definita in RR, essa è una soluzione massimale;
Adesso cerco delle soluzioni non costanti tali che $Y(\phi(x))!=0$ $AAx in(a,b)$
poichè $\phi(x)$ deve essere continua, questo implica che debba essere $\phi(x)>0$ oppure $\phi(x)<0$ $AAx in(a,b)$.
Scelgo di cercare soluzioni positive; integrando trovo
$1/3root(4)((y(x)^4-1)^3)=(x^3)/3+c$; poichè deve essere $(x^3)/3+c>0$ $AAx in(a,b)$, la soluzione deve essere definita in un intervallo $(a,b)sube(-root(3)(k),+oo[$ con $k=3c$;
esplicitando $y(x)$ trovo la funzione cercata:
$\phi(x)=root(4)(root(3)((x^3+k)^4)+1):(-root(3)(k),+oo[rarr(1,+oo[$, che come si vede subito è soluzione;
utilizzando la condizione iniziale trovo $k=-8$, quindi un'altra soluzione del mio PC è
$\phi(x)=root(4)(root(3)((x^3-8)^4)+1):(2,+oo[rarr(1,+oo[$, che non può essere ultierormente prolungata.
Oltre a queste due potrei vedere se esistono soluzioni $\phi(x)$ negative che risolvono il PC quindi cercarne una massimale e/o verificare se le soluzioni di tipo misto risolvono il mio PC e quindi cercarne una massimale."
Ho fatto bene, ho fatto male, suggerimenti?
Grazie in anticipo delle (eventuali) risposte!
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